Cho ba số thực dương x,y,z thay đổi thoả mãn x + y + z ≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 20541:

Cho ba số thực dương x,y,z thay đổi thoả mãn x + y + z ≥ 6

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}}{yz+\sqrt{1+x^{3}}}+\frac{y^{2}}{zx+\sqrt{1+y^{3}}}+\frac{z^{2}}{xy+\sqrt{1+z^{3}}}$

A. Min P = $\frac{3}{7}$

B. Min P = $\frac{6}{7}$

C. Min P = $\frac{12}{7}$

D. Min P = $\frac{24}{7}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:20541

Giải chi tiết

Áp dụng bổ đề: Với a,b,c > 0 thì $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$

Ta có: P ≥ $\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+zx+\sqrt{1+x^{3}}+\sqrt{1+y^{3}}+\sqrt{1+z^{3}}}$

Lại có: $\sqrt{1+x^{3}}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^{2})}\leq \frac{2+x^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x = 2

Suy ra: P ≥ $2.\frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+zx)+x^{2}+y^{2}+z^{2}+6}=\frac{2.(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}+6}$

Đặt: t = (x+y+z)²(t ≥ 36)

Ta có: P ≥ $\frac{2t}{t+6}$

Xét hàm số f(t)= $\frac{2t}{t+6}$ trên [36;+∞)

f'(t) ≥ 0

=> Hàm số f(t) đồng biến trên [36;+∞)

=> f(t) ≥ f(36) = $\frac{12}{7}$

Vậy Min P = $\frac{12}{7}$ khi x = y = z = 2

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.