Phương trình \({\sin ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ { - \pi \,;\,\pi } \right]\)

Câu 205993: Phương trình \({\sin ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ { - \pi \,;\,\pi } \right]\)

A. 5

B. 6

C. 4

D. 7

Câu hỏi : 205993

Quảng cáo

Đáp án : B
(14) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Hướng dẫn giải chi tiết

\({\sin ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x - {\pi \over 4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin 2x = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr - \sin 2x = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{ & \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin 2x = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = \cos \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x - {\pi \over 4} = {\pi \over 2} - 2x + k2\pi \hfill \cr x - {\pi \over 4} = 2x - {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{3x = {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr x = {\pi \over 4} - k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 4} + {{k2\pi } \over 3} \hfill \cr x = {\pi \over 4} - k2\pi \hfill \cr} \right. \Rightarrow x = {\pi \over 4} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

\(\eqalign{ & \left( 2 \right) \Leftrightarrow - \sin 2x = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( { - 2x} \right) = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) \Leftrightarrow \cos \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right) = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{{\pi \over 2} + 2x = x - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr {\pi \over 2} + 2x = - x + {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = - {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr 3x = - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = - {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr x = - {\pi \over {12}} + {{k2\pi } \over 3} \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(\eqalign{ & x \in \left[ { - \pi ;\,\pi } \right] \Rightarrow - \pi \le {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 3} \le \pi \cr & \Leftrightarrow - 1 \le {1 \over 4} + {k \over 3} \le 1 \Leftrightarrow - {5 \over 4} \le {k \over 3} \le {3 \over 4} \Leftrightarrow - {{15} \over 4} \le k \le {9 \over 4} \cr} \)

Mà \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\} \Rightarrow \) có 6 giá trị k nguyên

Vậy phương trình có 6 nghiệm thuộc \(\left[ { - \pi \,;\,\pi } \right]\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.