Cho biểu thức: \(P = \left[ {\frac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1}

Câu hỏi số 206192:

Vận dụng cao

Cho biểu thức: \(P = \left[ {\frac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + 3}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x + 32}}{{8 - x\sqrt x }}} \right]:\left( {1 - \frac{2}{{2 + \sqrt x }}} \right).\)

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

b) Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 9 - 4\sqrt 5 .\)

c) Tìm các giá trị chính phương của \(x\) để \(P\) có giá trị nguyên.

A. a) \(P= {{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}} \over {\sqrt x }}.\)

b) \(P=5\sqrt 5 + 10. \)

c) \(x=1.\)

B. a) \(P= {{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}} \over {\sqrt x }}.\)

b) \(P=5\sqrt 5 + 10. \)

c) \(x=1\) hoặc \(x=16.\)

C. a) \(P= {{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}} \over {\sqrt x }}.\)

b) \(P=5\sqrt 5 + 10. \)

c) \(x=16.\)

D. a) \(P= {{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}} \over {\sqrt x }}.\)

b) \(P=5\sqrt 5 - 10. \)

c) \(x=1\) hoặc \(x=16.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206192

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

Ta có: \(8 - x\sqrt x = 8 - {\left( {\sqrt x } \right)^3} = \left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {4 + 2\sqrt x + x} \right).\)

và \(1 - \frac{2}{{2 + \sqrt x }} = \frac{{2 + \sqrt x - 2}}{{2 + \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2 - \sqrt x \ne 0\\8 - x\sqrt x \ne 0\\\sqrt x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left[ {\frac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + 3}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x + 32}}{{8 - x\sqrt x }}} \right]:\left( {1 - \frac{2}{{2 + \sqrt x }}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {x + 4\sqrt x + 4} \right)}}{{x + 2\sqrt x + 1 + 3}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{2 + \sqrt x - 2}}{{2 + \sqrt x }}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{x\sqrt x + 4x + 4\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 4}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {x\sqrt x + 4x + 4\sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right) - 4\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right) + 8\sqrt x + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 2x\sqrt x - {x^2} + 4x + 8\sqrt x - 4x - 8\sqrt x - 16 + 8\sqrt x + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - {x^2} - 2x\sqrt x + 8\sqrt x + 16}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {8 - x\sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

b) Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 9 - 4\sqrt 5 .\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Với \(x = 9 - 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2.\sqrt 5 .2 + {2^2} = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 - 2} \right| = \sqrt 5 - 2\,\,\left( {do\,\,\sqrt 5 > 2} \right).\\ \Rightarrow P = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 2 + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt 5 - 2}} = \frac{5}{{\sqrt 5 - 2}} = \frac{{5\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{5 - 4}} = 5\sqrt 5 + 10.\end{array}\)

c) Tìm các giá trị chính phương của \(x\) để \(P\) có giá trị nguyên.

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Ta có: \(P = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + 4 + \frac{4}{{\sqrt x }}.\)

Vì \(x\) là số chính phương \( \Rightarrow x \in N;\,\,\sqrt x \in N.\)

\(P\) có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x }} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x \in U\left( 4 \right) \Leftrightarrow \sqrt x \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,4} \right\}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x > 0,x \ne 4\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1\\\sqrt x = 2\\\sqrt x = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 16\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy với các giá trị \(x = 1\) hoặc \(x = 16\) thì \(P\) đạt giá trị nguyên.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link