Bài toán sau đây giải sai từ bước nào?

Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 2x - 1} \over {2{x^3} + 3{x^2} - 2x}}\)

Bước 1: Ta có: \(2{x^3} + 3{x^2} - 2x = x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\)

Bước 2:

\(\eqalign{ & I = \int {f\left( x \right)dx = \int {{{{x^2} + 2x - 1} \over {2{x^3} + 3{x^2} - 2x}}dx = \int {{{{x^2} + 2x - 1} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}} } } dx = \int {\left( {{A \over x} + {B \over {x + 2}} + {C \over {2x - 1}}} \right)} dx \cr & = \int {{{A\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) + Bx\left( {x + 2} \right) + Cx\left( {2x - 1} \right)} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}} = \int {{{{x^2}\left( {2A + B + 2C} \right) + x\left( {3A + 2B - C} \right) - 2A} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}dx} \cr} \)

Bước 3: Đồng nhất hệ số \( \Rightarrow \left\{ \matrix{2A + B + 2C = 1 \hfill \cr 3A + 2B - C = 2 \hfill \cr - 2A = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{A = {1 \over 2} \hfill \cr B = {1 \over 5} \hfill \cr C = {{ - 1} \over {10}} \hfill \cr} \right.\)

Bước 4: \(I = \int {{1 \over {2x}}} dx + \int {{1 \over {5\left( {2x - 1} \right)}}} dx - \int {{1 \over {10\left( {x + 2} \right)}}} dx = {1 \over 2}\ln \left| x \right| + {1 \over 5}\ln \left| {2x - 1} \right| - {1 \over {10}}\ln \left| {x + 2} \right| + C\)

Câu 206251: Bài toán sau đây giải sai từ bước nào?

Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 2x - 1} \over {2{x^3} + 3{x^2} - 2x}}\)

Bước 1: Ta có: \(2{x^3} + 3{x^2} - 2x = x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\)

Bước 2:

\(\eqalign{ & I = \int {f\left( x \right)dx = \int {{{{x^2} + 2x - 1} \over {2{x^3} + 3{x^2} - 2x}}dx = \int {{{{x^2} + 2x - 1} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}} } } dx = \int {\left( {{A \over x} + {B \over {x + 2}} + {C \over {2x - 1}}} \right)} dx \cr & = \int {{{A\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) + Bx\left( {x + 2} \right) + Cx\left( {2x - 1} \right)} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}} = \int {{{{x^2}\left( {2A + B + 2C} \right) + x\left( {3A + 2B - C} \right) - 2A} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}dx} \cr} \)

Bước 3: Đồng nhất hệ số \( \Rightarrow \left\{ \matrix{2A + B + 2C = 1 \hfill \cr 3A + 2B - C = 2 \hfill \cr - 2A = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{A = {1 \over 2} \hfill \cr B = {1 \over 5} \hfill \cr C = {{ - 1} \over {10}} \hfill \cr} \right.\)

Bước 4: \(I = \int {{1 \over {2x}}} dx + \int {{1 \over {5\left( {2x - 1} \right)}}} dx - \int {{1 \over {10\left( {x + 2} \right)}}} dx = {1 \over 2}\ln \left| x \right| + {1 \over 5}\ln \left| {2x - 1} \right| - {1 \over {10}}\ln \left| {x + 2} \right| + C\)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu hỏi : 206251

Đáp án : B
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Bước 1: Ta có: \(2{x^3} + 3{x^2} - 2x = x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\)

Bước 2:

\(\eqalign{ & I = \int {f\left( x \right)dx = \int {{{{x^2} + 2x - 1} \over {2{x^3} + 3{x^2} - 2x}}dx = \int {{{{x^2} + 2x - 1} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}} } } dx = \int {\left( {{A \over x} + {B \over {x + 2}} + {C \over {2x - 1}}} \right)} dx \cr & = \int {{{A\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) + Bx\left( {2x - 1} \right) + Cx\left( {x + 2} \right)} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}} \cr & = \int\limits_{}^{} {{{A\left( {2{x^2} + 3x - 2} \right) + 2B{x^2} - Bx + C{x^2} + 2x} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}} dx \cr & = \int {{{{x^2}\left( {2A + 2B + C} \right) + x\left( {3A - B + 2C} \right) - 2A} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}dx} . \cr} \)

So sánh với bài toán thấy bài toán trên đã quy đồng sai.

\( \Rightarrow \) Bước 2 sai

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.