Cho hàm số \( (P):\, y=-x^2\) và đường thẳng d đi qua N(–1; –2) có hệ số góc \(k\). a) Chứng

Câu hỏi số 206525:

Vận dụng

Cho hàm số \( (P):\, y=-x^2\) và đường thẳng d đi qua N(–1; –2) có hệ số góc \(k\).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng d luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Gọi \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,\,\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là tọa độ của hai điểm A và B nói trên. Tìm \(k\) để tổng \(S = {x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(k = {1 \over 2}\)

B. \(k = - {1 \over 4}\)

C. \(k = - {1 \over 2}\)

D. \(k = {1 \over 4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206525

Giải chi tiết

a) Phương trình đường thẳng d đi qua N(–1; –2) và có hệ số góc k là:

\(y = k\left( {x + 1} \right) - 2 = kx + k - 2.\)

Phương trình hoành độ của d và (P) là:

\( \eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\, - {x^2} = kx + k - 2 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + kx + k - 2 = 0\,\,\,\left( * \right) \cr} \)

Có \(\Delta = {k^2} - 4\left( {k - 2} \right) = {k^2} - 4k + 8 = {k^2} - 4k + 4 + 4 = {\left( {k - 2} \right)^2} + 4 > 0\,\,\forall k.\)

Vậy với mọi k thì d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

b) Theo đề bài ta có: \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right).\)

Khi đó là hai nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = - k \hfill \cr {x_1}{x_2} = k - 2 \hfill \cr} \right..\)

Khi đó \(A\left( {{x_1};k{x_1} + k - 2} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};k{x_2} + k - 2} \right)\)

\( \eqalign{ & \Rightarrow S = {x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2} = {x_1} + {x_2} + k{x_1} + k - 2 + k{x_2} + k - 2 \cr & = \left( {k + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2k - 4 \cr & = - k\left( {k + 1} \right) + 2k - 4 = - {k^2} - k + 2k - 4 \cr & = - {k^2} + k - 4 = - \left( {{k^2} - k} \right) - 4 \cr & = - \left( {{k^2} - 2.{1 \over 2}k + {1 \over 4} - {1 \over 4}} \right) - 4 \cr & = - {\left( {k - {1 \over 2}} \right)^2} - {{15} \over 4} \le - {{15} \over 4}. \cr & \Rightarrow {S_{\max }} = - {{15} \over 4}. \cr} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow k - {1 \over 2} = 0 \Leftrightarrow k = {1 \over 2}.\)

Vậy \(k = - {1 \over 2}\) thì \( {S_{\max }} = - {{15} \over 4}. \)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link