Cho hàm số \( (P):\, y=-x^2\) và đường thẳng d đi qua N(–1; –2) có hệ số góc \(k\). a) Chứng

Câu hỏi số 206525:

Vận dụng

Cho hàm số \( (P):\, y=-x^2\) và đường thẳng d đi qua N(–1; –2) có hệ số góc \(k\).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng d luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Gọi \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,\,\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là tọa độ của hai điểm A và B nói trên. Tìm \(k\) để tổng \(S = {x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(k = {1 \over 2}\)

B. \(k = - {1 \over 4}\)

C. \(k = - {1 \over 2}\)

D. \(k = {1 \over 4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206525

Giải chi tiết

a) Phương trình đường thẳng d đi qua N(–1; –2) và có hệ số góc k là:

\(y = k\left( {x + 1} \right) - 2 = kx + k - 2.\)

Phương trình hoành độ của d và (P) là:

\( \eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\, - {x^2} = kx + k - 2 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + kx + k - 2 = 0\,\,\,\left( * \right) \cr} \)

Có \(\Delta = {k^2} - 4\left( {k - 2} \right) = {k^2} - 4k + 8 = {k^2} - 4k + 4 + 4 = {\left( {k - 2} \right)^2} + 4 > 0\,\,\forall k.\)

Vậy với mọi k thì d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

b) Theo đề bài ta có: \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right).\)

Khi đó là hai nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = - k \hfill \cr {x_1}{x_2} = k - 2 \hfill \cr} \right..\)

Khi đó \(A\left( {{x_1};k{x_1} + k - 2} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};k{x_2} + k - 2} \right)\)

\( \eqalign{ & \Rightarrow S = {x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2} = {x_1} + {x_2} + k{x_1} + k - 2 + k{x_2} + k - 2 \cr & = \left( {k + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2k - 4 \cr & = - k\left( {k + 1} \right) + 2k - 4 = - {k^2} - k + 2k - 4 \cr & = - {k^2} + k - 4 = - \left( {{k^2} - k} \right) - 4 \cr & = - \left( {{k^2} - 2.{1 \over 2}k + {1 \over 4} - {1 \over 4}} \right) - 4 \cr & = - {\left( {k - {1 \over 2}} \right)^2} - {{15} \over 4} \le - {{15} \over 4}. \cr & \Rightarrow {S_{\max }} = - {{15} \over 4}. \cr} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow k - {1 \over 2} = 0 \Leftrightarrow k = {1 \over 2}.\)

Vậy \(k = - {1 \over 2}\) thì \( {S_{\max }} = - {{15} \over 4}. \)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link