Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là

Câu hỏi số 209291:

Vận dụng cao

Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h (h >R). Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.

A. \(h = \sqrt 3 R\)

B. \(h = \sqrt 2 R\)

C. \(h = {{4R} \over 3}\)

D. \(h = {{3R} \over 2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:209291

Giải chi tiết

Phương pháp: S là đỉnh của hình nón thì S, O và tâm đường tròn là giao tuyến của (P) và mặt cầu phải thẳng hàng.

Cách giải:

Ta có: Gọi đường tròn (C ) có tâm là I và bán kính bằng r thì dễ có S phải thuộc OI và :

\(\eqalign{ & OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} + R \cr & V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R) \cr} \)

Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:

\(\eqalign{ & f(r) = {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R) \to f'(r) = 2{\rm{r}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + 2{\rm{rR}} - {{{r^3}} \over {\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} \cr & f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} + 2{\rm{R}} - {{{r^2}} \over {\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2} \Leftrightarrow {r^2} = {8 \over 9}{R^2} \to h = {{4{\rm{R}}} \over 3}. \cr} \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.