Nguyên hàm \(\int {{{\sin 2x} \over {1 + \sin x}}{\rm{d}}x} = m.\ln \left| {\sin x + 1} \right| + n.\sin x + C,\)

Câu hỏi số 209461:

Vận dụng

Nguyên hàm \(\int {{{\sin 2x} \over {1 + \sin x}}{\rm{d}}x} = m.\ln \left| {\sin x + 1} \right| + n.\sin x + C,\) với \(m,\,\,n \in Q.\) Tính \({m^2} + {n^2}.\)

A. 10

B. 13

C. 5

D. 8

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:209461

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sin x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \cos x\,{\rm{d}}x \) \(\Leftrightarrow 2t\,{\rm{d}}t = 2\sin x\cos x\,{\rm{d}}x = \sin 2x\,{\rm{d}}x.\)

Khi đó \(\int {{{\sin 2x} \over {1 + \sin x}}{\rm{d}}x} = \int {{{2t} \over {t + 1}}{\rm{d}}t} = \int {{{2\left( {t + 1} \right) - 2} \over {t + 1}}{\rm{d}}t} \) \(= \int {\left( {2 - {2 \over {t + 1}}} \right){\rm{d}}t} = 2t - 2\ln \left| {t + 1} \right| + C\)

Với \(t = \sin x\) suy ra \(\int {{{\sin 2x} \over {1 + \sin x}}{\rm{d}}x} = 2\sin x - 2\ln \left| {\sin x + 1} \right| + C \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{ m = - \,2 \hfill \cr n = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {m^2} + {n^2} = 8.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.