Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,\) Tính giá trị biểu thức \(F\left( {{\pi \over 2}} \right).\)
Câu 209468: Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,\) Tính giá trị biểu thức \(F\left( {{\pi \over 2}} \right).\)
A. \({{{\pi ^2}} \over 2} + \ln {\pi \over 2}.\)
B. \({{{\pi ^2}} \over 4} - \ln {\pi \over 2} + 1.\)
C. \({{{\pi ^2}} \over 8}.\)
D. \({{\pi} \over 2} + \ln {\pi \over 2} + 1.\)
Quảng cáo
-
Đáp án : D(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \cos x + x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\)
Khi đó \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x} = \int {1\,{\rm{d}}x} + \int {{{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.} \)
Đặt \(t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \left( {x\sin x + \cos x} \right){\rm{'d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.\)
Suy ra \(\int {{{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} = \int {{{{\rm{d}}t} \over t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\)
Do đó
\(\eqalign{ & F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {x} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C. \cr & \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = {x} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1. \cr & \Rightarrow F\left( {{\pi \over 2}} \right) = {{\pi } \over 2} + \ln {\pi \over 2} + 1. \cr} \)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
