Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \left( {x + 1}

Câu hỏi số 209468:

Vận dụng

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,\) Tính giá trị biểu thức \(F\left( {{\pi \over 2}} \right).\)

A. \({{{\pi ^2}} \over 2} + \ln {\pi \over 2}.\)

B. \({{{\pi ^2}} \over 4} - \ln {\pi \over 2} + 1.\)

C. \({{{\pi ^2}} \over 8}.\)

D. \({{\pi} \over 2} + \ln {\pi \over 2} + 1.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:209468

Giải chi tiết

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \cos x + x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\)

Khi đó \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x} = \int {1\,{\rm{d}}x} + \int {{{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.} \)

Đặt \(t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \left( {x\sin x + \cos x} \right){\rm{'d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.\)

Suy ra \(\int {{{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} = \int {{{{\rm{d}}t} \over t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\)

Do đó

\(\eqalign{ & F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {x} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C. \cr & \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = {x} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1. \cr & \Rightarrow F\left( {{\pi \over 2}} \right) = {{\pi } \over 2} + \ln {\pi \over 2} + 1. \cr} \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.