Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,\) Tính giá trị biểu thức \(F\left( {{\pi  \over 2}} \right).\)

Câu 209468: Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,\) Tính giá trị biểu thức \(F\left( {{\pi  \over 2}} \right).\)

A. \({{{\pi ^2}} \over 2} + \ln {\pi  \over 2}.\)

B. \({{{\pi ^2}} \over 4} - \ln {\pi  \over 2} + 1.\)

C. \({{{\pi ^2}} \over 8}.\)

D. \({{\pi} \over 2} + \ln {\pi  \over 2} + 1.\)

Câu hỏi : 209468
  • Đáp án : D
    (4) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Hướng dẫn giải chi tiết

    Ta có \(f\left( x \right) = {{x\sin x + \cos x + x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}.\)

    Khi đó \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x}  = \int {1\,{\rm{d}}x}  + \int {{{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.} \)

    Đặt \(t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \left( {x\sin x + \cos x} \right){\rm{'d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.\)

    Suy ra \(\int {{{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = \int {{{{\rm{d}}t} \over t}}  = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\)

    Do đó

    \(\eqalign{  & F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = {x} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.  \cr  &  \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = {x} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.  \cr  &  \Rightarrow F\left( {{\pi  \over 2}} \right) = {{\pi } \over 2} + \ln {\pi  \over 2} + 1. \cr} \)

    Chọn D.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com