Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(d:\,\,\,y = mx - m + 1\,\,\,\left( {m

Câu hỏi số 210001:

Vận dụng cao

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(d:\,\,\,y = mx - m + 1\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\) lớn nhất.

A. \(m = - 1 + \sqrt 2 \)

B. \(m = 2\)

C. \(m = \sqrt 2 \)

D. \(m = - 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:210001

Phương pháp giải

+) Gọi A, B là giao điểm của d với các trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm A, B.

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

+) Áp dụng BĐT Bunhiacopxi.

Giải chi tiết

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Oy.

Khi đó, \(A\left( {{{m - 1} \over m};\,\,0} \right),\,\,\,\,B\left( {0;\,\, - m + 1} \right)\). Gọi H là hình chiều của O lên đường thẳng (d) thì OH chính là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d).

Xét tam giác vuông OAB có \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} \Leftrightarrow OH = {{OA.OB} \over {\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}\).

Suy ra \(O{H_{\max }} \Leftrightarrow {\left( {{{OA.OB} \over {\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}} \right)_{\max }}\).

Ta có \({{OA.OB} \over {\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }} = {{\left| {{{m - 1} \over m}} \right|\left| { - m + 1} \right|} \over {\sqrt {{{\left( {{{m - 1} \over m}} \right)}^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = {{{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over {\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2}\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = {{\left| {m - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + {m^2}} }}\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì \({{\left| {m - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + {m^2}} }} \le {{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} } \over {\sqrt {1 + {m^2}} }} = \sqrt 2 \).

Vậy \(O{H_{\max }} = \sqrt 2 \) và đạt được khi \(m = - 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10