Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(d:\,\,\,y = mx - m + 1\,\,\,\left( {m

Câu hỏi số 210001:

Vận dụng cao

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(d:\,\,\,y = mx - m + 1\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\) lớn nhất.

A. \(m = - 1 + \sqrt 2 \)

B. \(m = 2\)

C. \(m = \sqrt 2 \)

D. \(m = - 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:210001

Phương pháp giải

+) Gọi A, B là giao điểm của d với các trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm A, B.

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

+) Áp dụng BĐT Bunhiacopxi.

Giải chi tiết

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Oy.

Khi đó, \(A\left( {{{m - 1} \over m};\,\,0} \right),\,\,\,\,B\left( {0;\,\, - m + 1} \right)\). Gọi H là hình chiều của O lên đường thẳng (d) thì OH chính là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d).

Xét tam giác vuông OAB có \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} \Leftrightarrow OH = {{OA.OB} \over {\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}\).

Suy ra \(O{H_{\max }} \Leftrightarrow {\left( {{{OA.OB} \over {\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}} \right)_{\max }}\).

Ta có \({{OA.OB} \over {\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }} = {{\left| {{{m - 1} \over m}} \right|\left| { - m + 1} \right|} \over {\sqrt {{{\left( {{{m - 1} \over m}} \right)}^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = {{{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over {\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2}\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = {{\left| {m - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + {m^2}} }}\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì \({{\left| {m - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + {m^2}} }} \le {{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} } \over {\sqrt {1 + {m^2}} }} = \sqrt 2 \).

Vậy \(O{H_{\max }} = \sqrt 2 \) và đạt được khi \(m = - 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.