Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{{\ln \left( {1 + x} \right)} \over {{x^2}}}{\rm{d}}x} = a.\ln 3 + b.\ln 2,\)

Câu hỏi số 211333:

Vận dụng

Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{{\ln \left( {1 + x} \right)} \over {{x^2}}}{\rm{d}}x} = a.\ln 3 + b.\ln 2,\) với \(a,\,\,b \in Q.\) Tính P = 2a + 5b.

A. \(P = 10.\)

B. \(P = 12.\)

C. \(P = 3.\)

D. \(P = 6.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211333

Giải chi tiết

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = \ln \left( {1 + x} \right) \hfill \cr {\rm{d}}v = {{{\rm{d}}x} \over {{x^2}}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = {{{\rm{d}}x} \over {x + 1}} \hfill \cr v = - {1 \over x} \hfill \cr} \right..\)

Khi đó \(I = \left. { - {1 \over x}.\ln \left( {1 + x} \right)} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {{{{\rm{d}}x} \over {x\left( {x + 1} \right)}}} \)

\(\eqalign{ & \Rightarrow \,\,I = - {1 \over 2}\ln 3 + \ln 2 + \int\limits_1^2 {\left( {{1 \over x} - {1 \over {x + 1}}} \right){\rm{d}}x} \cr & = - {1 \over 2}\ln 3 + \ln 2 + \left. {\ln \left| {{x \over {x + 1}}} \right|} \right|_1^2 \cr & = - {1 \over 2}\ln 3 + \ln 2 + \ln {2 \over 3} - \ln {1 \over 2} \cr & = - {1 \over 2}\ln 3 + \ln 2 + \ln 2 - \ln 3 + \ln 2 \cr & = - {3 \over 2}\ln 3 + 3\ln 2. \cr} \)

Mặt khác \(I = a\ln 3 + b\ln 2\) suy ra \(\left\{ \matrix{ a = - {3 \over 2} \hfill \cr b = 3 \hfill \cr} \right.\,\, \Rightarrow P = 2a + 5b = 2.\left( { - {3 \over 2}} \right) + 5.3 = 12.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.