`

Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\left( {{x^2} + 1} \right)\sin x\,{\rm{d}}x}  = a\pi  + b,\) với \(a,\,\,b \in Q.\) Tính \(P = {a^2} - 2b.\)

Câu 211332: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\left( {{x^2} + 1} \right)\sin x\,{\rm{d}}x}  = a\pi  + b,\) với \(a,\,\,b \in Q.\) Tính \(P = {a^2} - 2b.\)

A. \(P = 0.\)

B. \(P =  - \,1.\)

C. \(P = 3.\)

D. \(P =  - \,2.\)

Câu hỏi : 211332
  • Đáp án : C
    (2) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Phương pháp:

    - Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

    - Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.

    - Đồng nhất thức.

    Cách giải.

    Đặt \(\left\{ \matrix{  u = {x^2} + 1 \hfill \cr   {\rm{d}}v = \sin x\,{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = 2x\,{\rm{d}}x \hfill \cr   v =  - \,\cos x \hfill \cr}  \right..\)

    Khi đó \(I =  - \,\left. {\left( {{x^2} + 1} \right)\cos x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + 2\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x}  = 1 + 2\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} .\)

    Xét tích phân \(J = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} ,\) ta đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   {\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr   v = \sin x \hfill \cr}  \right..\)

    Khi đó \(J = \left. {x\sin x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} - \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin x\,{\rm{d}}x}  = {\pi  \over 2} + \left. {\cos x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} = {\pi  \over 2} - 1.\)

    Vậy \(I = 1 + 2\left( {{\pi  \over 2} - 1} \right) = \pi  - 1 = a\pi  + b \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 1 \hfill \cr   b =  - \,1 \hfill \cr}  \right.\)

    \( \Rightarrow P = {a^2} - 2b = 1 + 2 = 3.\)

    Chọn C.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay

Hỗ trợ - HƯớng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com