Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {{x^2} + 1} \right)\sin x\,{\rm{d}}x} = a\pi + b,\)

Câu hỏi số 211332:

Vận dụng

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {{x^2} + 1} \right)\sin x\,{\rm{d}}x} = a\pi + b,\) với \(a,\,\,b \in Q.\) Tính \(P = {a^2} - 2b.\)

A. \(P = 0.\)

B. \(P = - \,1.\)

C. \(P = 3.\)

D. \(P = - \,2.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211332

Giải chi tiết

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {x^2} + 1 \hfill \cr {\rm{d}}v = \sin x\,{\rm{d}}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = 2x\,{\rm{d}}x \hfill \cr v = - \,\cos x \hfill \cr} \right..\)

Khi đó \(I = - \,\left. {\left( {{x^2} + 1} \right)\cos x} \right|_0^{{\pi \over 2}} + 2\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} = 1 + 2\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} .\)

Xét tích phân \(J = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} ,\) ta đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr {\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr v = \sin x \hfill \cr} \right..\)

Khi đó \(J = \left. {x\sin x} \right|_0^{{\pi \over 2}} - \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin x\,{\rm{d}}x} = {\pi \over 2} + \left. {\cos x} \right|_0^{{\pi \over 2}} = {\pi \over 2} - 1.\)

Vậy \(I = 1 + 2\left( {{\pi \over 2} - 1} \right) = \pi - 1 = a\pi + b \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = - \,1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow P = {a^2} - 2b = 1 + 2 = 3.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.