Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {{x^2} + 1} \right)\sin x\,{\rm{d}}x} = a\pi + b,\) với \(a,\,\,b \in Q.\) Tính \(P = {a^2} - 2b.\)

Câu 211332: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {{x^2} + 1} \right)\sin x\,{\rm{d}}x} = a\pi + b,\) với \(a,\,\,b \in Q.\) Tính \(P = {a^2} - 2b.\)

A. \(P = 0.\)

B. \(P = - \,1.\)

C. \(P = 3.\)

D. \(P = - \,2.\)

Câu hỏi : 211332

Quảng cáo

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {x^2} + 1 \hfill \cr   {\rm{d}}v = \sin x\,{\rm{d}}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = 2x\,{\rm{d}}x \hfill \cr   v = - \,\cos x \hfill \cr} \right..\)

Khi đó \(I = - \,\left. {\left( {{x^2} + 1} \right)\cos x} \right|_0^{{\pi \over 2}} + 2\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} = 1 + 2\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} .\)

Xét tích phân \(J = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} ,\) ta đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr   {\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr   v = \sin x \hfill \cr} \right..\)

Khi đó \(J = \left. {x\sin x} \right|_0^{{\pi \over 2}} - \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin x\,{\rm{d}}x} = {\pi \over 2} + \left. {\cos x} \right|_0^{{\pi \over 2}} = {\pi \over 2} - 1.\)

Vậy \(I = 1 + 2\left( {{\pi \over 2} - 1} \right) = \pi - 1 = a\pi + b \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr   b = - \,1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow P = {a^2} - 2b = 1 + 2 = 3.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.