Kết quả tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {2 + {x^2}} \right){\rm{d}}x} \) được viết dưới

Câu hỏi số 211334:

Vận dụng

Kết quả tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {2 + {x^2}} \right){\rm{d}}x} \) được viết dưới dạng I = aln3 + bln2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tổng a + b + c có giá trị bằng:

A. 0

B. 2

C. -1

D. 1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211334

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm logarit ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.

- Đồng nhất thức.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = \ln \left( {2 + {x^2}} \right) \hfill \cr {\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = {{2x} \over {2 + {x^2}}}{\rm{d}}x \hfill \cr v = {{{x^2}} \over 2} + 1 = {{2 + {x^2}} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^1 {x\ln \left( {2 + {x^2}} \right){\rm{d}}x} \\
\,\,\,\, = \left. {\frac{{2 + {x^2}}}{2}.\ln \left( {2 + {x^2}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_1^2 {x{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} \\
\,\,\,\, = \frac{3}{2}\ln 3 - \ln 2 - \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1\\
\,\,\,\, = \frac{3}{2}\ln 3 - \ln 2 - \frac{1}{2}.
\end{array}\)

Mặt khác I = aln3 + bln2 + c suy ra \(a = {3 \over 2};\,\,b = - \,1;\,\,c = - {1 \over 2}.\)

Vậy a + b + c = 0.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.