Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x\cos 2x\,{\rm{d}}x} = {1 \over 4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right),\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in Z.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

Câu 211335: Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x\cos 2x\,{\rm{d}}x} = {1 \over 4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right),\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in Z.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. \(2a + b + c = - \,1.\)

B. \(a + b + c = 1.\)

C. \(a + 2b + c = 0.\)

D. \(a - b + c = 0.\)

Câu hỏi : 211335

Đáp án : D
(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr {\rm{d}}v = \cos 2x\,{\rm{d}}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr v = {{\sin 2x} \over 2} \hfill \cr} \right.,\) khi đó \(\int\limits_0^1 {x\cos 2x\,{\rm{d}}x} = \left. {{{x.\sin 2x} \over 2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{{\sin 2x} \over 2}{\rm{d}}x} \)

\( = \left. {{{x.\sin 2x} \over 2}} \right|_0^1 + \left. {{{\cos 2x} \over 4}} \right|_0^1 = \left. {\left( {{{x.\sin 2x} \over 2} + {{\cos 2x} \over 4}} \right)} \right|_0^1 = {{\sin 2} \over 2} + {{\cos 2} \over 4} - {1 \over 4} = {1 \over 4}\left( {2\sin 2 + \cos 2 - 1} \right).\)

Mặt khác \(\int\limits_0^1 {x\cos 2x\,{\rm{d}}x} = {1 \over 4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)\) suy ra \(\left\{ \matrix{ a = 2 \hfill \cr b = 1 \hfill \cr c = - \,1 \hfill \cr} \right.\,\, \Rightarrow \,\,a - b + c = 0.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.