Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 213409:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đấy. Đường thẳng \(SD\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({45^o}\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(CD\). Góc giữa hai đường thẳng \(BI\) và \(SD\) bằng (làm tròn đến hàng đơn vị)

A. \({39^o}\)

B. \({42^o}\)

C. \({51^o}\)

D. \({48^o}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213409

Phương pháp giải

Phương pháp: Chứng minh góc giữa \(BI\) và \(SD\) là góc giữa \(MD\) và \(SD\) với \(M\) là trung điểm \(AB\). Giải tam giác \(SMD\)

Giải chi tiết

Cách giải

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\) , ta có \(BMDI\) là hình bình hành \( \Rightarrow MD//BI\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {BI;SD} \right)} = \widehat {\left( {MD;SD} \right)}\)

Vì \(DA \bot AB,DA \bot SA \Rightarrow DA \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \) góc giữa \(SD\) và \(\left( {SAB} \right)\) là góc giữa \(SD\) và \(SA\) và bằng góc \(DSA\)

\( \Rightarrow \Delta ASD\) vuông cân tại \(A\)

Gọi cạnh của hình vuông \(ABCD\) là \(a\), ta có

\(\begin{array}{l}AM = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\\SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\\MD = \sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta SMD\) cân tại \(M\) . Gọi \(H\) là trung điểm \(SD \Rightarrow MH \bot SD\)

\(HD = SH = \dfrac{{SD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\cos \left( {SD;MD} \right) = \cos \widehat {MDH} = \dfrac{{HD}}{{MD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {\left( {SD;MD} \right)} = \arccos \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} \approx 51^\circ \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.