Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn hệ thức: \(\left| z-3i \right|=\left| 1-i\overline{z} \right|\) và

Câu hỏi số 213667:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn hệ thức: \(\left| z-3i \right|=\left| 1-i\overline{z} \right|\) và \(z-\frac{9}{z}\) là số thuần ảo

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213667

Phương pháp giải

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\).

Số phức \(z=a+bi\) là số thuần ảo nếu \(a=0\).

Giải chi tiết

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\left| z-3i \right|=\left| 1-i\overline{z} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {a + bi - 3i} \right| = \left| {1 - i(a - bi)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + (b - 3)i} \right| = \left| {1 - b - ai} \right|\\ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {1 - b} \right)^2} + {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6b + 9 = 1 - 2b + {b^2} + {a^2}\\ \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow z = a + 2i\end{array}\)

Khi đó \(z-\frac{9}{z}=a+2i-\frac{9}{a+2i}=a+2i-\frac{9(a-2i)}{{{a}^{2}}+4}=\frac{{{a}^{3}}-5a+\left( 2{{a}^{2}}+26 \right)i}{{{a}^{2}}+4}\) là số thuần ảo

\( \Leftrightarrow {a^3} - 5a = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm \sqrt 5 \end{array} \right.\)

Vậy có \(3\) số phức thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Nhầm lẫn điều kiện để một số phức là số thuần ảo.

- Giải sai các phương trình khi tìm \(a,b\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.