Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn hệ thức: \(\left| z-3i \right|=\left| 1-i\overline{z} \right|\) và \(z-\frac{9}{z}\) là số thuần ảo
Câu 213667: Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn hệ thức: \(\left| z-3i \right|=\left| 1-i\overline{z} \right|\) và \(z-\frac{9}{z}\) là số thuần ảo
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
Quảng cáo
Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\).
Số phức \(z=a+bi\) là số thuần ảo nếu \(a=0\).
-
Đáp án : B(9) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:
\(\left| z-3i \right|=\left| 1-i\overline{z} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {a + bi - 3i} \right| = \left| {1 - i(a - bi)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + (b - 3)i} \right| = \left| {1 - b - ai} \right|\\ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {1 - b} \right)^2} + {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6b + 9 = 1 - 2b + {b^2} + {a^2}\\ \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow z = a + 2i\end{array}\)
Khi đó \(z-\frac{9}{z}=a+2i-\frac{9}{a+2i}=a+2i-\frac{9(a-2i)}{{{a}^{2}}+4}=\frac{{{a}^{3}}-5a+\left( 2{{a}^{2}}+26 \right)i}{{{a}^{2}}+4}\) là số thuần ảo
\( \Leftrightarrow {a^3} - 5a = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm \sqrt 5 \end{array} \right.\)
Vậy có \(3\) số phức thỏa mãn điều kiện bài toán.
Chú ý:
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn điều kiện để một số phức là số thuần ảo.
- Giải sai các phương trình khi tìm \(a,b\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
