Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z-3i|=5\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo?

Câu hỏi số 213830:

Vận dụng cao

A. 0

B. 2

C. vô số

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213830

Phương pháp giải

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Số phức \(z=a+bi\) là số thuần ảo nếu \(a=0\).

Giải chi tiết

Giả sử \(z=a+bi\left( z\ne 4 \right)\) , ta có \(|z-3i|=5\Leftrightarrow |a+bi-3i|=5 \)

\( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=25 \) \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6b=16\) (1)

Mặt khác \(\frac{z}{{z - 4}} = \frac{{a + bi}}{{a + bi - 4}} = \frac{{(a + bi)(a - 4 - bi)}}{{{{(a - 4)}^2} + {b^2}}} = \frac{{({a^2} - 4a + {b^2}) - 4bi}}{{{{(a - 4)}^2} + {b^2}}}\)

\(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo khi \({{a}^{2}}-4a+{{b}^{2}}=0\) (2)

Giải hệ (1) và (2):

Lấy trừ vế với vế ta được:

\(4a-6b=16\Leftrightarrow 2a-8=3b\Leftrightarrow 2\left( a-4 \right)=3b\Leftrightarrow a-4=\frac{3b}{2}\).

Thay \(a-4=\frac{3b}{2}\) vào ta được:

\(a.\frac{{3b}}{2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow b\left( {\frac{{3a}}{2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = - \frac{{3a}}{2}\end{array} \right.\).

Nếu \(b=0\) thì \(a=4\Rightarrow z=4\) (loại do \(z\ne 4\)

Nếu \(b=-\frac{3a}{2}\) thì \(a - 4 = - \frac{{9a}}{4} \Leftrightarrow a = \frac{{16}}{{13}} \)

\( \Rightarrow b = - \frac{{24}}{{13}} \Rightarrow z = \frac{{16}}{{13}} - \frac{{24}}{{13}}i\) (thỏa mãn)

Vậy có 1 số phức thỏa mãn bài toán.

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai điều kiện để một số phức là thuần ảo.

- Giải sai hệ phương trình tìm \(a,b\).

- Không kết hợp điều kiện ban đầu để loại nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.