Số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(|z-(2+i)|=\sqrt{10}\) và \(z.\bar{z}=25\) là

Câu 213829: Số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(|z-(2+i)|=\sqrt{10}\) và \(z.\bar{z}=25\) là

A. \({{z}_{1}}=3-4i\) và \({{z}_{2}}=-5\)

B. \({{z}_{1}}=3+4i\) và \({{z}_{2}}=5\)

C. \({{z}_{1}}=-3+4i\) và \({{z}_{2}}=5\)

D. \({{z}_{1}}=3+4i\) và \({{z}_{2}}=-5\)

Câu hỏi : 213829

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử số phức cần tìm là \(z=a+bi\)

Từ điều kiện \(z.\bar{z}=25\) ta có \((a+bi)(a-bi)=25\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25\) (1)

Từ điều kiện \(|z-(2+i)|=\sqrt{10}\) có

\(|a+bi-(2+i)|=\sqrt{10}\Leftrightarrow |(a-2)+(b-1)i|=\sqrt{10} \\ \Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=10 \, \, \, (2)\)

Giải hệ (1), (2) ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 25}&{}\\{{{(a - 2)}^2} + {{(b - 1)}^2} = 10}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 25}&{}\\{{a^2} + {b^2} - 4a - 2b + 5 = 10}&{}\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 25}&{}\\{4a + 2b = 20}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 25}&{}\\{2a + b = 10}&{}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 10 - 2a}&{}\\{{a^2} + {{(10 - 2a)}^2} = 25}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 10 - 2a}&{}\\{5{a^2} - 40a + 75 = 0}&{}\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 10 - 2a}&{}\\{{a^2} - 8a + 15 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}&{}\\{b = 4}&{}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 5}&{}\\{b = 0}&{}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Vậy tìm được hai số phức \({{z}_{1}}=3+4i\) và \({{z}_{2}}=5\)

Chú ý:
Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai công thức tính mô đun số phức.

- Giải sai hệ phương trình.

- Chuyển vế quên đổi dấu.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.