Số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(|z-(2+i)|=\sqrt{10}\) và \(z.\bar{z}=25\)

Câu hỏi số 213829:

Vận dụng

Số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(|z-(2+i)|=\sqrt{10}\) và \(z.\bar{z}=25\) là

A. \({{z}_{1}}=3-4i\) và \({{z}_{2}}=-5\)

B. \({{z}_{1}}=3+4i\) và \({{z}_{2}}=5\)

C. \({{z}_{1}}=-3+4i\) và \({{z}_{2}}=5\)

D. \({{z}_{1}}=3+4i\) và \({{z}_{2}}=-5\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213829

Phương pháp giải

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Giải chi tiết

Giả sử số phức cần tìm là \(z=a+bi\)

Từ điều kiện \(z.\bar{z}=25\) ta có \((a+bi)(a-bi)=25\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25\) (1)

Từ điều kiện \(|z-(2+i)|=\sqrt{10}\) có

\(|a+bi-(2+i)|=\sqrt{10}\Leftrightarrow |(a-2)+(b-1)i|=\sqrt{10} \\ \Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=10 \, \, \, (2)\)

Giải hệ (1), (2) ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 25}&{}\\{{{(a - 2)}^2} + {{(b - 1)}^2} = 10}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 25}&{}\\{{a^2} + {b^2} - 4a - 2b + 5 = 10}&{}\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 25}&{}\\{4a + 2b = 20}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 25}&{}\\{2a + b = 10}&{}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 10 - 2a}&{}\\{{a^2} + {{(10 - 2a)}^2} = 25}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 10 - 2a}&{}\\{5{a^2} - 40a + 75 = 0}&{}\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 10 - 2a}&{}\\{{a^2} - 8a + 15 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}&{}\\{b = 4}&{}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 5}&{}\\{b = 0}&{}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Vậy tìm được hai số phức \({{z}_{1}}=3+4i\) và \({{z}_{2}}=5\)

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai công thức tính mô đun số phức.

- Giải sai hệ phương trình.

- Chuyển vế quên đổi dấu.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.