Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+2-i|=2\sqrt{2}\) và \({{(z-1)}^{2}}\) là số thuần ảo?

Câu 213831: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+2-i|=2\sqrt{2}\) và \({{(z-1)}^{2}}\) là số thuần ảo?

A. 0

B. 4

C. 3

D. 2

Câu hỏi : 213831

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Số phức \(z=a+bi\) là số thuần ảo nếu \(a=0\).

Đáp án : C
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(z=a+bi\), ta có \({{(z-1)}^{2}}={{(a+bi-1)}^{2}}={{(a-1)}^{2}}-{{b}^{2}}+2(a-1)bi\).

Từ giả thiết \({{(z-1)}^{2}}\) là số thuần ảo suy ra \({(a - 1)^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = a - 1}\\{b = 1 - a}\end{array}} \right.\). (1)

Từ giả thiết \(|z+2-i|=2\sqrt{2}\) ta có

\(|a + bi + 2 - i| = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {(a + 2)^2} + {(b - 1)^2} = 8\) (2)

Nếu \(b=a-1\), thay vào (2) có \({{(a+2)}^{2}}+{{(a-2)}^{2}}=8\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+8=8\Leftrightarrow a=0\Rightarrow b=-1\)

Nếu \(b=1-a\), thay vào (2) có \({{(a+2)}^{2}}+{{(-a)}^{2}}=8\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+4a-4=0\) (*). Phương trình có \(\Delta '>0\) nên tìm được 2 số phức thỏa mãn.

Mặt khác \(a=0\) không là nghiệm của phương trình (*) nên tìm được 3 số phức.

Chú ý:
Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai điều kiện để một số phức là thuần ảo.

- Giải sai hệ phương trình tìm \(a,b\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.