Cho z là một số phức thỏa mãn điều kiện \(|z-1|=\sqrt{2}\). Tìm GTLN của biểu

Câu hỏi số 213913:

Thông hiểu

Cho z là một số phức thỏa mãn điều kiện \(|z-1|=\sqrt{2}\). Tìm GTLN của biểu thức

\(T=|z+i|+|z-2-i|\).

A. \(\max T=8\sqrt{2}.\)

B. \(\max T=4\).

C. \(\max T=4\sqrt{2}\).

D. \(\max T=8\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213913

Phương pháp giải

Gọi \(z=a+bi\), thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ \(a,b\)

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki \({{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\) để đánh giá biểu thức cần tìm GTLN.

Giải chi tiết

Giả sử \(z=a+bi\), theo giả thiết ta có \({{(a-1)}^{2}}+{{b}^{2}}=2\).

Ta có

\(T=|a+bi+i|+|a+bi-2-i|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}}+\sqrt{{{(a-2)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

\(\sqrt{{{a}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}}+\sqrt{{{(a-2)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right).\left( {{a}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}+{{(a-2)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}} \right)}\) \(=\sqrt{2.(2{{a}^{2}}-4a+4+2{{b}^{2}}+2)}=\sqrt{2.\left( 2\left( {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+4 \right)}=\sqrt{2.\left( 2.2+4 \right)}=4\)

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai mô đun số phức.

- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.