Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\) và

Câu hỏi số 216083:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\) và \(C(0;0;1)\) thì tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) là:

A. \(\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)

B. \(\left( {0;0;0} \right)\)

C. \(\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)

D. \(\left( {1;1;1} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216083

Phương pháp giải

Phương pháp:

\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.\)

- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:C

ho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\)

- Sử dụng công thức tính vô hướng

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

- Sử dụng công thức tính tích có hướng:

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có:\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

Giải chi tiết

Cách làm:

Giả sử \(H(x;y;z)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\\\overrightarrow {AH} = \left( {x - 1;y;z} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x;y - 1;z} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\end{array}\)

\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) khi ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - y + z = 0\\ - x + z = 0\\x + y + z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{3}\)

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Chưa phát hiện được điều kiện để một điểm là trực tâm của tam giác.

Học sinh thường bỏ quên điều kiệ để bốn điểm \(A,B,C,H\) đồng phẳng.

- Tính sai tọa độ các véc tơ.- Nhầm lẫn công thức tích vô hướng với tích có hướng.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.