1. Biết a,b là các số tự nhiên và ( a+b) chia hết cho 6. Chứng minh (7.a+ 2017.b) cũng chia hết cho

Câu hỏi số 216804:

Vận dụng

1. Biết a,b là các số tự nhiên và ( a+b) chia hết cho 6. Chứng minh (7.a+ 2017.b) cũng chia hết cho 6.

2. Tìm số dư của phép chia A = 3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ + ...+3²⁰¹⁵ + 3²⁰¹⁶ cho 52

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216804

Phương pháp giải

+) Ta có: \(a\,\, \vdots \,\,m;\,\,\,b\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow \left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,m\)

Giải chi tiết

1. Ta có: \(7a + 2017b = 7\left( {a + b} \right) + 2016b.\)Mà\(\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow 7\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,6\)

Lại có\(2016\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow 2016b\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow \left( {7\left( {a + b} \right) + 2016b} \right)\,\, \vdots \,\,6.\)

\( \Rightarrow \left( {7a + 2017b} \right)\,\, \vdots \,\,6\,\,\left( {dpcm} \right).\)

2. Ta có: \(A = {3^0} + {3^1} + {3^2} + .... + {3^{2015}} + {3^{2016}} = 1 + B.\)

Với \(B = {3^1} + {3^2} + .... + {3^{2015}} + {3^{2016}}.\)

Số các số hạng của B là: \(\left( {2016 - 1} \right):1 + 1 = 2016\) số hạng.

\(\eqalign{ & \Rightarrow B = \left( {{3^1} + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4}} \right) + ........... + \left( {{3^{2015}} + {3^{2016}}} \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {1 + 3} \right) + {3^3}\left( {1 + 3} \right) + ........... + {3^{2015}}\left( {1 + 3} \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\left( {3 + {3^3} + {3^5} + ............ + {3^{2015}}} \right)\,\,\,\,\, \vdots \,\,4 \cr & hay\,\,\,\,B\,\, \vdots \,\,4\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Lại có:

\(\eqalign{& B = \left( {{3^1} + {3^2} + {3^3}} \right) + \left( {{3^4} + {3^5} + {3^6}} \right) + ........... + \left( {{3^{2014}} + {3^{2015}} + {3^{2016}}} \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^4}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ........... + {3^{2014}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\left( {3 + {3^4} + {3^7} + ............ + {3^{2014}}} \right)\, \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 13\left( {3 + {3^4} + {3^7} + ............ + {3^{2014}}} \right)\,\,\,\,\, \vdots \,\,13 \cr & hay\,\,\,\,B\,\, \vdots \,\,13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow B\,\, \vdots \,\,52\)

Mà \(A = B + 1 \Rightarrow A\,\) chia cho 52 dư 1.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link