Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\). Vẽ BD vuông góc với \(AC\) tại \(D, CE\) vuông góc với \(AB\) tại

Câu hỏi số 217055:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\). Vẽ BD vuông góc với \(AC\) tại \(D, CE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Chứng minh rằng:

a) \(BD = CE\)

b) \(EI = DI\)

c) Ba điểm \(A, I, H\) thẳng hàng (với H là trung điểm của \(BC\))

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217055

Phương pháp giải

Câu a: Chứng minh: \(\Delta ABD = \Delta ACE \Rightarrow BD = CE\)

Câu b: Chứng minh \(\Delta {\mathop{\rm EBI}\nolimits} = \Delta {\mathop{\rm DCI}\nolimits} \Rightarrow EI = DI\)

Câu c: Chứng minh \(AH \bot BC;IH \bot BC \Rightarrow \) đpcm

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABD\) (\(\widehat D = 9{0^0}\) ) và \(\Delta ACE\) (\(\widehat E = 9{0^0}\) ) có:

\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm AB}\nolimits} = AC\\\widehat A\,\,chung\end{array}\)

Do đó \(\Delta ABD = \Delta ACE\)(cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow BD = CE\)(hai cạnh tương ứng)

Vậy BD = CE.

b) Từ \(\Delta ABD = \Delta ACE\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE = AD\\\widehat {{\mathop{\rm ABD}\nolimits} } = \widehat {{\mathop{\rm ACE}\nolimits} }\,\,{\mathop{\rm hay}\nolimits} \,\,\widehat {{\mathop{\rm EBI}\nolimits} } = \widehat {{\mathop{\rm DCI}\nolimits} }\,\,\end{array} \right.\)

Từ AB= AC (gt); AE = AD, suy ra AB – AE = AC – AD hay BE = CD

Xét \(\Delta EBI\) và \(\Delta DCI\)có :

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\widehat {\mathop{\rm E}\nolimits} = \widehat {\mathop{\rm D}\nolimits} = 9{0^0}\\{\mathop{\rm BE}\nolimits} = CD\,\\\widehat {{\mathop{\rm EBI}\nolimits} } = \widehat {{\mathop{\rm DCI}\nolimits} }\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta {\mathop{\rm EBI}\nolimits} = \Delta {\mathop{\rm DCI}\nolimits} \,(g.c.g)\\ \Rightarrow EI{\rm{ }} = {\rm{ }}DI\end{array}\)

c) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(AC = AB\) (gt)

\(AH\) chung

\(HB = HC\) (gt)

Suy ra \(\Delta AHB = \Delta AHC\left( {c.c.c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\).

Tương tự ta cũng có \(\Delta HIB = \Delta HIC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \widehat {IHB} = \widehat {IHC} = {90^0} \Rightarrow IH \bot BC\)

Từ \(AH \bot BC;IH \bot BC \Rightarrow AH//IH\) (từ vuông góc đến song song)

Điều này mâu thuẫn do tiên đề Ơ-clit.

Vậy \(A,H,I\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link