Tìm giá trị của tham số \(k\) để \(2\) phương trình sau có ít nhất \(1\) nghiệm

Câu hỏi số 217443:

Vận dụng

Tìm giá trị của tham số \(k\) để \(2\) phương trình sau có ít nhất \(1\) nghiệm chung

\(2{{x}^{2}}+\left( 3k+1 \right)x-9=0\) (1) và \(6{{x}^{2}}+\left( 7k-1 \right)x-19=0\) (2)

A. \(k=\pm 2\)

B. \(k=-2\)

C. \(k=2;k=\frac{2}{3}\)

D. \(k=-2;k=-\frac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Phương pháp giải: Nghiệm chung của phương trình (1) và phương trình (2) chính là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & 2{{x}^{2}}+\left( 3k+1 \right)x-9=0 \\ & 6{{x}^{2}}+\left( 7k-1 \right)x-19=0 \\ \end{align} \right.\) (I)

Lấy \(3\times \left( 1 \right)-\left( 2 \right)\) để còn lại phương trình bậc nhất với ẩn \(x\) và tham số \(k\)

Rút \(k\) theo \(x\) rồi thay vào phương trình (1).

Biện luận phương trình sau khi thay theo tham số \(k\).

Giải chi tiết

Cách giải:

Nghiệm chung của phương trình (1) và phương trình (2) chính là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & 2{{x}^{2}}+\left( 3k+1 \right)x-9=0 \\ & 6{{x}^{2}}+\left( 7k-1 \right)x-19=0 \\ \end{align} \right.\) (I)

Lấy \(3\times \left( 1 \right)-\left( 2 \right)\) ta được phương trình: \(3\left( 3k+1 \right)x-27-\left( 7k-1 \right)x+19=0\Leftrightarrow \left( k+2 \right)x=4\)

\(\circ \) Nếu \(k+2=0\Leftrightarrow k=-2\) ta được

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x-9=0\Leftrightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{97}}{4}\)

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-15x-19=0\Leftrightarrow x=\frac{15\pm \sqrt{681}}{12}\)

Nghiệm của \(2\) phương trình khác nhau nên \(k=-2\) không phải giá trị cần tìm.

\(\circ \) Nếu \(k+2\ne 0\Rightarrow x=\frac{4}{k+2}\)

Thay \(x=\frac{4}{k+2}\) vào phương trình (1) ta được: \(\frac{32}{{{\left( k+2 \right)}^{2}}}+\frac{4\left( 3k+1 \right)}{k+2}-9=0\)

\(\Leftrightarrow 32+4\left( 3k+1 \right)\left( k+2 \right)-9{{\left( k+2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow 32+4\left( 3{{k}^{2}}+7k+2 \right)-9\left( {{k}^{2}}+4k+4 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 32+12{{k}^{2}}+28k+8-9{{k}^{2}}-36k-36=0\Leftrightarrow 3{{k}^{2}}-8k+4=0\)

\(\Leftrightarrow \left( k-2 \right)\left( 3k-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & k=2 \\ & k=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right.\) (Thỏa mãn \(k\ne -2\) )

\(\bullet \) Với \(k=2\) thay vào phương trình (1) và phương trình (2) ta được:

\((1)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+7x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-\frac{9}{2} \\ \end{align} \right.\)

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+13x-19=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-\frac{19}{6} \\ \end{align} \right.\)

Vậy với \(k=2\) thì \(2\) phương trình có nghiệm chung \(x=1\)

\(\bullet \) Với \(k=\frac{2}{3}\) tương tự ta tìm được \(2\) phương trình có nghiệm chung là \(x=\frac{3}{2}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:217443

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.