Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {f\left( {\tan x}

Câu hỏi số 217850:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^1 {{{{x^2}f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 2.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

A. \(I = 2.\)

B. \(I = 8.\)

C. \(I = -2.\)

D. \(I = 6.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217850

Phương pháp giải

Đặt \(t = \tan x\) sau đó tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. Sử dụng công thức \({1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1.\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = \tan x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = {{{\rm{d}}x} \over {{{\cos }^2}x}} = \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right){\rm{d}}x \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {{{\rm{d}}t} \over {{t^2} + 1}}.\) Và đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0\,\, \to \,\,t = 0 \hfill \cr x = {\pi \over 4}\,\, \to \,\,t = 1 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{{f\left( t \right)} \over {{t^2} + 1}}{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {{{f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 4.\)

Vậy \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}} = \int\limits_0^1 {{{f\left( x \right) + {x^2}f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}} = \int\limits_0^1 {{{f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {{{{x^2}f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 4 + 2 = 6.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.