Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^1 {{{{x^2}f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 2.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
Câu 217850: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^1 {{{{x^2}f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 2.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
A. \(I = 2.\)
B. \(I = 8.\)
C. \(I = -2.\)
D. \(I = 6.\)
Quảng cáo
Đặt \(t = \tan x\) sau đó tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. Sử dụng công thức \({1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1.\)
-
Đáp án : D(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \tan x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = {{{\rm{d}}x} \over {{{\cos }^2}x}} = \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right){\rm{d}}x \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {{{\rm{d}}t} \over {{t^2} + 1}}.\) Và đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0\,\, \to \,\,t = 0 \hfill \cr x = {\pi \over 4}\,\, \to \,\,t = 1 \hfill \cr} \right.\)
Khi đó \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{{f\left( t \right)} \over {{t^2} + 1}}{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {{{f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 4.\)
Vậy \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}} = \int\limits_0^1 {{{f\left( x \right) + {x^2}f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}} = \int\limits_0^1 {{{f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {{{{x^2}f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 4 + 2 = 6.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
