Chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt{2}\) .Thể tích của khối chóp đó bằng .

Câu 217885: Chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt{2}\) .Thể tích của khối chóp đó bằng .

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{4}\)

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{12}\)

Câu hỏi : 217885

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xác định đường cao của hình chóp. Dùng định lý Py-ta-go để tính độ dài đường cao này.

Dùng công thức thể tích để tính thể tích của hình chóp

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Hạ đường cao \(SH\) xuống cạnh \(BC.\) Nối \(A\) với \(H.\) Hạ đường cao \(SK\) xuống \(AH.\) Ta có \(SH\bot BC\,\left( 1 \right).\) Do \(SBC\)là tam giác cân tại \(S\) nên \(SH\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến. \(ABC\) đều nên \(AH\) là đường cao. Do đó \(AH\bot BC\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) suy ra \(BC\bot \left( AHS \right)\Rightarrow BC\bot SK.\) Mặt khác \(SK\bot AH,\) nên \(SK\bot \left( ABC \right).\) Do đó \(SK\) là đường cao của chóp.

Do \(H\) là trung điểm nên \(HC=\frac{a}{2}.\) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác \(SHC\) ta có \(SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.\)

Tương tự ta có \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\) Tương tự các bài trước và từ định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(AKS,\,SKH\) ta có

\(S{{K}^{2}}=S{{H}^{2}}-K{{H}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{K}^{2}}=S{{A}^{2}}-{{\left( AH-KH \right)}^{2}}\Rightarrow KH=\frac{a}{2\sqrt{3}}.\)

Do đó \(SK=\sqrt{S{{H}^{2}}-K{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{7}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{5}{3}}a.\) Từ đó \(V=\frac{1}{3}SK.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.\left( \sqrt{\frac{5}{3}}a \right)\,.\left( \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}.\)

Chọn đáp án B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.