Chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt{2}\) .Thể tích của khối chóp đó

Câu hỏi số 217885:

Thông hiểu

Chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt{2}\) .Thể tích của khối chóp đó bằng .

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{4}\)

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{12}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217885

Phương pháp giải

Xác định đường cao của hình chóp. Dùng định lý Py-ta-go để tính độ dài đường cao này.

Dùng công thức thể tích để tính thể tích của hình chóp

Giải chi tiết

Hạ đường cao \(SH\) xuống cạnh \(BC.\) Nối \(A\) với \(H.\) Hạ đường cao \(SK\) xuống \(AH.\) Ta có \(SH\bot BC\,\left( 1 \right).\) Do \(SBC\)là tam giác cân tại \(S\) nên \(SH\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến. \(ABC\) đều nên \(AH\) là đường cao. Do đó \(AH\bot BC\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) suy ra \(BC\bot \left( AHS \right)\Rightarrow BC\bot SK.\) Mặt khác \(SK\bot AH,\) nên \(SK\bot \left( ABC \right).\) Do đó \(SK\) là đường cao của chóp.

Do \(H\) là trung điểm nên \(HC=\frac{a}{2}.\) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác \(SHC\) ta có \(SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.\)

Tương tự ta có \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\) Tương tự các bài trước và từ định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(AKS,\,SKH\) ta có

\(S{{K}^{2}}=S{{H}^{2}}-K{{H}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{K}^{2}}=S{{A}^{2}}-{{\left( AH-KH \right)}^{2}}\Rightarrow KH=\frac{a}{2\sqrt{3}}.\)

Do đó \(SK=\sqrt{S{{H}^{2}}-K{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{7}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{5}{3}}a.\) Từ đó \(V=\frac{1}{3}SK.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.\left( \sqrt{\frac{5}{3}}a \right)\,.\left( \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}.\)

Chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.