Cho \(P=\frac{27-2x}{{{x}^{2}}+9}\) Khi đó giá trị lớn nhất của \(P\) là:

Câu hỏi số 217940:

Vận dụng cao

A. \(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\)

B. \(-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}\)

C. \(-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\)

D. \(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217940

Phương pháp giải

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức thành phương trình bậc hai ẩn \(x\) và tham số \(P\)

Tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai rồi suy ra GTLN của \(P\)

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta có: \(P=\frac{27-2x}{{{x}^{2}}+9}\Leftrightarrow P\left( {{x}^{2}}+9 \right)=27-2x\Leftrightarrow P{{x}^{2}}+2x+9\left( P-3 \right)=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) đạt được GTLN thì \(\left( 1 \right)\) phải có nghiệm.

Trường hợp 1. Với \(P=0\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \(2x+9\left( 0-3 \right)=0\Leftrightarrow 2x-27=0\Leftrightarrow x=\frac{27}{2}.\)

Trường hợp 2. Khi \(P\ne 0.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - P\left( {9P - 27} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - 9{P^2} + 27P \ge 0 \Leftrightarrow 9{P^2} - 27P - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 3P - \frac{1}{9} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{P^2} - 2.P.\frac{3}{2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right) - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{1}{9} \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {P - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{{85}}{{36}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {P - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)\left( {P - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right) \le 0.\end{array}\)

Do \(P-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}>P-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\) nên\(\left( P-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6} \right)\left( P-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6} \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\le P\le \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}.\)

Với \(P=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right){x^2} + 2x + 9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \,\left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right){x^2} + 2\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)x + 9{\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\left[ {9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)} \right] + {\left[ {9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right).\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}\) đạt được tại \(x=-9\left( -\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6} \right)=9\left( \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6} \right).\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link