Cho \(P=\frac{27-2x}{{{x}^{2}}+9}\) Khi đó giá trị lớn nhất của \(P\) là:

Câu hỏi số 217940:

Vận dụng cao

A. \(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\)

B. \(-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}\)

C. \(-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\)

D. \(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217940

Phương pháp giải

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức thành phương trình bậc hai ẩn \(x\) và tham số \(P\)

Tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai rồi suy ra GTLN của \(P\)

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta có: \(P=\frac{27-2x}{{{x}^{2}}+9}\Leftrightarrow P\left( {{x}^{2}}+9 \right)=27-2x\Leftrightarrow P{{x}^{2}}+2x+9\left( P-3 \right)=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) đạt được GTLN thì \(\left( 1 \right)\) phải có nghiệm.

Trường hợp 1. Với \(P=0\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \(2x+9\left( 0-3 \right)=0\Leftrightarrow 2x-27=0\Leftrightarrow x=\frac{27}{2}.\)

Trường hợp 2. Khi \(P\ne 0.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - P\left( {9P - 27} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - 9{P^2} + 27P \ge 0 \Leftrightarrow 9{P^2} - 27P - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 3P - \frac{1}{9} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{P^2} - 2.P.\frac{3}{2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right) - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{1}{9} \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {P - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{{85}}{{36}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {P - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)\left( {P - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right) \le 0.\end{array}\)

Do \(P-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}>P-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\) nên\(\left( P-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6} \right)\left( P-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6} \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\le P\le \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}.\)

Với \(P=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right){x^2} + 2x + 9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \,\left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right){x^2} + 2\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)x + 9{\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\left[ {9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)} \right] + {\left[ {9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right).\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}\) đạt được tại \(x=-9\left( -\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6} \right)=9\left( \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6} \right).\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link