Cho hai đường tròn (O ; 6cm) và (O’; 4cm) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là một tiếp tuyến chung

Câu hỏi số 218079:

Vận dụng

Cho hai đường tròn (O ; 6cm) và (O’; 4cm) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (B Î (O), C Î (O^’)); tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A cắt BC tại M.

a) Chứng minh M là trung điểm của BC và \(\widehat{BAC}={{90}^{0}}\).

b) Gọi giao điểm của OM với AB là P; giao điểm của O’M với AC là Q. Chứng minh APMQ là hình chữ nhật.

c) Đường thẳng BC cắt đường thẳng OO’ tại I. Tính độ dài OI và BC .

d) Kẻ các đường kính BOE và CO’F , gọi N là trung điểm của EF. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONO’.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218079

Phương pháp giải

Phương pháp:

Câu a: Sử dụng tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh M là TĐ của BC.

+) Sử dụng tính chất tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh có đường trường trung tuyến đó là tam giác vuông.

Câu b: Áp dụng định lý mối quan hệ giữa đường kính và dây cung: Đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây đó tại trung điểm.

+) Chứng minh tứ giác có 3 góc vuông thì tứ giác đó là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Câu c: Ta có O’C//OB nên \(\frac{O'I}{OI}=\frac{O'C}{OB}\Rightarrow OI=....\)

Câu d: Chứng minh tam giác ONO’ là tam giác vuông. Sau đó suy ra được đpcm.

Giải chi tiết

- Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MA = MB = MC nên M là trung điểm BC.

- Tam giác ABC có AM =1/2 BC nên vuông tại A.

- Vì MA và MB là tiếp tuyến của (O) nên \(OM\bot AB.\)

- Vì MA và MC là tiếp tuyến của (O’) nên \(O'M\bot AC\)

Xét tứ giác PMQA ta có: \(\widehat{MPQ}=\widehat{PAQ}=\widehat{AQM}={{90}^{0}}\,\,\left( cmt \right)\)

- Suy ra được APMQ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

- Ta có: \(A{{M}^{2}}=AO.AO'=6.4=24\Rightarrow AM=2\sqrt{6}\,\,\,cm\Rightarrow BC=4\sqrt{6}\,\,cm\)

- Theo Talet: \(\frac{IO'}{IO}=\frac{O'C}{OB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{IO-IO'}{IO}=\frac{3-2}{3}\Rightarrow \frac{10}{IO}=\frac{1}{3}\Rightarrow IO=30cm\)

- Chứng minh được \(\widehat{\text{ONO}'}={{90}^{0}}\)

Xét tam giác EBF có: O là trung điểm của BE; N là trung điểm của EF.

\(\Rightarrow \) ON là đường trung bình của tam giác EBF.

\(\Rightarrow ON//BF\,\,\,\) và \(ON=\frac{1}{2}BF\) (t/c đường trung bình).

Chứng minh tương tự ta có \(O'M//BF;\,\,\,\,O'M=\frac{1}{2}BF\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & O'M=ON=\frac{1}{2}BF \\ & \widehat{MON}=\widehat{OMO'}={{90}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) tứ giác OMO’N là hình chữ nhật. (dấu hiệu nhận biết).

\(\Rightarrow \widehat{ONO'}={{90}^{0}}\) hay tam giác ONO’ vuông tại N.

Gọi K trung điểm của OO’, khi đó K là giao điểm của NM và OO’; K là trung điểm của MN (hai đường chéo của hình chữ nhật thì bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

\(\Rightarrow \) 4 điểm O; M; O’; N cùng thuộc đường tròn tâm K bán kính KN.

Hay tam giác OO’N nội tiếp đường tròn tâm K.

Ta có thể chứng minh KN là đường trung bình của hình thang BCO’O

\(\Rightarrow MK\bot BC\Rightarrow \) BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm K hay BC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OO’N. (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link