Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(y = x.\cos x\) mà F(0) = 1. Phát biểu nào sau đây

Câu hỏi số 218743:

Thông hiểu

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(y = x.\cos x\) mà F(0) = 1. Phát biểu nào sau đây đúng:

A. F(x) là hàm chẵn.

B. F(x) là hàm lẻ.

C. F(x) là hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

D. F(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218743

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần bằng cách đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \cos xdx \hfill \cr} \right.,\) sau đó sử dụng giả thiết F(0) = 1 để tìm hằng số C và xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn của hàm số F(x) tìm được.

Giải chi tiết

Ta có \(F\left( x \right) = \int {x.\cos xdx} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = \sin x \hfill \cr} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = x\sin x - \int {\sin xdx} + C = x\sin x + \cos x + C.\)

\(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow 0\sin 0 + \cos 0 + C = 1 \Leftrightarrow 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x\sin x + \cos x\)

Ta có: \(F\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right)\sin \left( { - x} \right) + \cos \left( { - x} \right) = x\sin x + \cos x = F\left( x \right) \Rightarrow F\left( x \right)\) là hàm chẵn.

Chú ý khi giải

Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.