Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin 2x+4\sin x-2\cos x-4=0\) trong đoạn \(\left[

Câu hỏi số 219300:

Vận dụng

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin 2x+4\sin x-2\cos x-4=0\) trong đoạn \(\left[ 0;100\pi \right]\) của phương trình:

A. \(2476\pi \)

B. \(25\pi \)

C. \(2475\pi \)

D. \(100\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219300

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) đưa phương trình ban đầu về dạng phương trình tích sau đó giải phương trình tích đó và tìm các nghiệm trong đoạn \(\left[ 0;100\pi \right]\).

Tính tổng các nghiệm vừa tìm được, sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng \({{S}_{n}}=\frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)n}{2}\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin 2x + 4\sin x - 2\cos x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + 4\sin x - 2\cos x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + 4\left( {\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x - 1 = 0\\\cos x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = - 2\,\,\left( {vn} \right)\end{array} \right. \\ \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le 100\pi \mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{199}}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in Z\\0 \le k \le 49\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó tổng tất cả các nghiệm trong đoạn \(\left[ 0;100\pi \right]\) của phương trình trên là:

\(S = \sum\limits_{k = 0}^{49} {\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)} = 50\frac{\pi }{2} + 2\pi \sum\limits_{k = 0}^{49} k \) \(= 25\pi + 2\pi \frac{{49.50}}{2} = 2475\pi \)

Chon C

Chú ý khi giải

Sau khi tìm được các nghiệm của phương trình trên trong đoạn \(\left[ 0;100\pi \right]\) và viết lại tổng dưới dạng tổng \(\sum{{}}\), rất nhiều học sinh có nhầm lẫn sau: \(S=\sum\limits_{k=0}^{49}{\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi \right)}=\frac{\pi }{2}+2\pi \sum\limits_{k=0}^{49}{k}\).

Lưu ý rằng 50 số hạng đó đều có \(\frac{\pi }{2}\) nên \(S=\sum\limits_{k=0}^{49}{\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi \right)}\) \(=50.\frac{\pi }{2}+2\pi \sum\limits_{k=0}^{49}{k}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.