Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm \(\left\{ \begin{align} &
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm \(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2017x\le 2017 \\ & {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m+3\ge 0 \\ \end{align} \right.\)
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Nhân cả 2 vế của bất phương trình (1) với 2, rồi cộng cả 2 vế của bất phương trình (1) với \(2017\sqrt{x+1}\), sau đó ta xét hàm số \(f\left( t \right)={{2.3}^{t}}+2017t\), chứng minh hàm số đơn điệu, tìm ra tập nghiệm của (1).
Tìm m để bất phương trình (2) có nghiệm bằng cách cô lập m, đưa phương trình về dạng \(m\ge f\left( x \right)\), khi đó bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge \min \,\,f\left( x \right)\), lưu ý rằng chỉ xét hàm số f(x) trên tập nghiệm của bất phương trình (1).
ĐK: \(x\ge -1\)
\(\left\{ \begin{align} & {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2017x\le 2017\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m+3\ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{align} & Bpt\,\,\,\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{2.3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{2.3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2.2017x\le 2.2017 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow {{2.3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{2.3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2.2017x+2017\sqrt{x+1}\le 2.2017+2017\sqrt{x+1} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow {{2.3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+2017\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le {{2.3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2017\left( 2+\sqrt{x+1} \right) \\ \end{align}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2.3}^{t}}+2017t\), có \(f'\left( t \right)={{2.3}^{t}}\ln 3+2017>0\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên R.
Mà \(f\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le f\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\Rightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x\le 1\Rightarrow -1\le x\le 1.\).
Bất phương trình \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+3\ge m\left( x-2 \right)\)
Vì \(x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow x-2<0\Rightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-2}=f\left( x \right)\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-2}\) trên đoạn [-1; 1] ta có
\(\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{min}}\,f\left( x \right)=-2=f\left( \pm 1 \right)\)
Để phương trình (*) có nghiệm trên [-1; 1] thì \(m\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{min}}\,f\left( x \right)=-2.\)
Đây là một trong những bài toán khó nhất trong để thi này, đòi hỏi áp dụng nhiều kiến thức, học sinh cần vận dụng linh hoạt các kiến thức về hệ phương trình, hàm số để có thể giải quyết bài toán.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
