Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = BC = x, SB = AC = y, SC = AB = z thỏa mãn \({x^2} + {y^2} +
Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = BC = x, SB = AC = y, SC = AB = z thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 12\). Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC ?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện gần đều: \(V = \frac{1}{6}SC.AB\sin \widehat {\left( {SC;AB} \right)}d\left( {SC;AB} \right)\)
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và SC ta có:
\(\Delta SAC = \Delta CBS\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow FA = FB\) , do đó tam giác FAB cân tại F\( \Rightarrow FE \bot AB\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \(FE \bot SC\) , do đó EF là đường vuông góc chung của SC và AB.
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SC.AB\sin \widehat {\left( {SC;AB} \right)}d\left( {SC;AB} \right)\)
Ta có: BF là trung tuyến của tam giác SBC nên \(B{F^2} = \dfrac{{B{C^2} + S{B^2}}}{2} - \frac{{S{C^2}}}{4} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} - \frac{{{z^2}}}{4}\)
Tam giác BEF vuông tại E nên \(EF = \sqrt {B{F^2} - B{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} - \dfrac{{{z^2}}}{4} - \dfrac{{{z^2}}}{4}} = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}{2}} = \sqrt {\dfrac{{12 - 2{z^2}}}{2}} = \sqrt {6 - {z^2}} \)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}{z^2}\sqrt {6 - {z^2}} \sin \widehat {\left( {SC;AB} \right)}\,\,\left( {0 < z < \sqrt {12} } \right)\)
Thể tích của chóp S.ABC đạt GTLN khi và chỉ khi \(f\left( z \right) = {z^2}\sqrt {6 - {z^2}} \) đạt GTLN và \(\sin \widehat {\left( {SC;AB} \right)} = 1 \Rightarrow SC \bot AB\).
Xét hàm số \(f\left( z \right) = {z^2}\sqrt {6 - {z^2}} \,\,\left( {0 < z < \sqrt {12} } \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( z \right) = 2z\sqrt {6 - {z^2}} + {z^2}\dfrac{{ - z}}{{\sqrt {6 - {z^2}} }} = \dfrac{{2z\left( {6 - {z^2}} \right) - {z^3}}}{{\sqrt {6 - {z^2}} }} = \dfrac{{12z - 3{z^3}}}{{\sqrt {6 - {z^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\z = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\z = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left( {0;\sqrt {12} } \right)} f\left( z \right) = f\left( 2 \right) = 4\sqrt 2 \\ \Rightarrow {V_{\max }} = \dfrac{1}{6}.4\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
