Cho phương trình \({\log _{3 + 2\sqrt 2 }}\left( {x + m - 1} \right) + {\log _{3 - 2\sqrt 2 }}\left( {mx + {x^2}}

Câu hỏi số 220263:

Vận dụng

Cho phương trình \({\log _{3 + 2\sqrt 2 }}\left( {x + m - 1} \right) + {\log _{3 - 2\sqrt 2 }}\left( {mx + {x^2}} \right) = 0.\) Tìm m để phương trình có nghiệm thực duy nhất.

A. m = 1

B. \(\left[ \matrix{ m = - 3 \hfill \cr m = 1 \hfill \cr} \right.\)

C. \(-3 < m < 1\)

D. \(m > 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220263

Phương pháp giải

Đưa về cùng cơ số, giải phương trình loga, lưu ý điều kiện xác định của phương trình.

Giải chi tiết

Ta có \(\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 1 \Rightarrow \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{ - 1}}\), do đó phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{ & {\log _{3 + 2\sqrt 2 }}\left( {x + m - 1} \right) - {\log _{3 - 2\sqrt 2 }}\left( {mx + {x^2}} \right) = 0. \cr & \Leftrightarrow {\log _{3 + 2\sqrt 2 }}\left( {x + m - 1} \right) = {\log _{3 - 2\sqrt 2 }}\left( {mx + {x^2}} \right) \cr} \)

Điều kiện: \(x + m - 1 > 0 \Leftrightarrow x - 1 > m \Leftrightarrow x > 1 - m\)

\( \Leftrightarrow x + m - 1 = mx + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1 - m = 0\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình có nghiệm thực duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất hoặc có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 1 - m < {x_2}\), tức là:

TH1: \(\Delta = 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {1 - m} \right) = \left( {1 - m} \right)\left( { - 3 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 1 \hfill \cr m = - 3 \hfill \cr} \right.\)

Với m = 1 ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Leftrightarrow x + m - 1 = 0\) (loại)

Với m = -3 ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow x + m - 1 = - 2 < 0\) (loại)

TH2 :

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \Delta > 0 \hfill \cr {x_1} + m - 1 < 0 < {x_2} + m - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \Delta > 0 \hfill \cr \left( {{x_1} + m - 1} \right)\left( {{x_2} + m - 2} \right) < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ m < - 3 \hfill \cr m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr {x_1}{x_2} + \left( {m - 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {m - 1} \right)^2} < 0\,\,\left( {**} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Giải (**) ta có \(\left( {1 - m} \right) - {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow m > 1\)

Kết hợp điều kiện ta có m > 1.

Cách trắc nghiệm :

Thay trực tiếp m = 1, m = -3 vào các đáp án A và B.

Thay m = 0 ta loại đáp án C.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.