Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x - y + 2z + 3(\sqrt 2 - 1)

Câu hỏi số 220512:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x - y + 2z + 3(\sqrt 2 - 1) = 0\). Phương trình mặt cầu nằm trong phần không gian có \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\), tiếp xúc với các trục \(Ox,Oy,Oz\) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) + 1 = 0\)

B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) + \sqrt 2 = 0\)

C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) - \sqrt 2 = 0\)

D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) - 5 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220512

Phương pháp giải

Do tiếp xúc với các trục tọa độ nên tâm mặt cầu có dạng \((p;p;p)\), \(p > 0\)

Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi trục tọa độ

khoảng cách từ tâm đến mỗi trục tọa độ bằng khoảng cách từ tâm đến (P).

Giải chi tiết

Do tiếp xúc với các trục tọa độ nên tâm mặt cầu có dạng \(I(p;p;p)\).

Do mặt cầu nằm trong phần không gian có \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\) nên\(p > 0\).

Gọi M là hình chiếu của I trên trục Ox\( \Rightarrow M(p;0;0)\). Khoảng cách từ I đến trục Ox bằng \(MI = p\sqrt 2 \).

Suy ra khoảng cách từ tâm I đến (P) cũng bằng \(p\sqrt 2 \).

Do đó, ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left| {2p - p + 2p + 3(\sqrt 2 - 1)} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = p\sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3p + 3(\sqrt 2 - 1)} \right|}}{3} = p\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {p + \sqrt 2 - 1} \right| = p\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p + \sqrt 2 - 1 = p\sqrt 2 \\p + \sqrt 2 - 1 = - p\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = \sqrt 2 - 1\\p\left( {\sqrt 2 + 1} \right) = \sqrt 2 - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 1\\p = {(\sqrt 2 - 1)^2}\end{array} \right.\end{array}\)

Từ đáp án bài cho ta có \(I(1;1;1)\)

Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng \(p\sqrt 2 = \sqrt 2 \).

Vậy phương trình mặt cầu là:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) + 1 = 0\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.