Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}; x = 1; x = e\) và trục hoành là \(S\) được biểu diễn dưới dạng \(S = {{a + 4\sqrt 2 } \over b},\) với \(a,\,\,b \in Q\) Tính tổng \(T = a + 2b.\)

Câu 220696: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}; x = 1; x = e\) và trục hoành là \(S\) được biểu diễn dưới dạng \(S = {{a + 4\sqrt 2 } \over b},\) với \(a,\,\,b \in Q\) Tính tổng \(T = a + 2b.\)

A. \(T = - \,1.\)

B. \(T = 0.\)

C. \(T = 4.\)

D. \(T = 2.\)

Câu hỏi : 220696

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)

Đồng nhất hệ số, tìm a, b và tính tổng.

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Do \({{\sqrt {1 + \ln x} } \over x} \ge 0;\,\,\forall x \in \left[ {1;\,\,e} \right] \Rightarrow \left| {{{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}} \right| = {{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}\), suy ra diện tích cần xác định là

\(S = \int\limits_1^e {\left| {{{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^e {{{\sqrt {1 + \ln x} } \over x}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = \sqrt {1 + \ln x} \Rightarrow {t^2} = 1 + \ln x \Rightarrow 2t\,{\rm{d}}t = {{{\rm{d}}x} \over x}.\)

Khi \(\left\{ \matrix{ x = e\,\, \Rightarrow \,\,t = \sqrt 2 \hfill \cr x = 1\, \Rightarrow t = 1 \hfill \cr} \right..\) Vậy \(S = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {t.2t\,{\rm{d}}t} = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {2{t^2}\,{\rm{d}}t} = \left. {{2 \over 3}{t^3}} \right|_1^{\sqrt 2 } = {{4\sqrt 2 - 2} \over 3} = {{a + 4\sqrt 2 } \over b} \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = - \,2 \hfill \cr b = 3 \hfill \cr} \right..\)

Vậy tổng \(T = a + 2b = - \,2 + 2.3 = 4.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.