Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y = \left( {{e^x} + 1} \right)x\). Biết rằng \(S\) được biểu diễn dưới dạng \({e \over m} - 1\), giá trị của \(m\) bằng

Câu 220700: Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y = \left( {{e^x} + 1} \right)x\). Biết rằng \(S\) được biểu diễn dưới dạng \({e \over m} - 1\), giá trị của \(m\) bằng

A. \(m = - 1\)

B. \(m = {1 \over 2}\)

C. \(m = 1\)

D. \(m = 2\)

Câu hỏi : 220700

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm các cận của tích phân.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Đáp án : D
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm là \(\left( {e + 1} \right)x = \left( {{e^x} + 1} \right)x \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr   e + 1 = {e^x} + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr   x = 1 \hfill \cr} \right.\)

Suy ra diện tích cần tính là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{e^x} + 1} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x}x - ex} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} - e} \right)} \right|{\rm{d}}x} .\)

Với

\(\eqalign{ & x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow x\left( {{e^x} - e} \right) \le 0 \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {x\left( {e - {e^x}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {ex\,{\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x}   \cr   & = {{e{x^2}} \over 2}\left| \matrix{ ^1 \hfill \cr   _0 \hfill \cr} \right. - \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x} = {e \over 2} - \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x} . \cr} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr   dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr   v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 = 1.\)

Vậy \(S = {e \over 2} - 1 \Rightarrow m = 2.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.