Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y =

Câu hỏi số 220700:

Vận dụng

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y = \left( {{e^x} + 1} \right)x\). Biết rằng \(S\) được biểu diễn dưới dạng \({e \over m} - 1\), giá trị của \(m\) bằng

A. \(m = - 1\)

B. \(m = {1 \over 2}\)

C. \(m = 1\)

D. \(m = 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220700

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm các cận của tích phân.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là \(\left( {e + 1} \right)x = \left( {{e^x} + 1} \right)x \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr e + 1 = {e^x} + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right.\)

Suy ra diện tích cần tính là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{e^x} + 1} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x}x - ex} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} - e} \right)} \right|{\rm{d}}x} .\)

Với

\(\eqalign{ & x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow x\left( {{e^x} - e} \right) \le 0 \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {x\left( {e - {e^x}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {ex\,{\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x} \cr & = {{e{x^2}} \over 2}\left| \matrix{ ^1 \hfill \cr _0 \hfill \cr} \right. - \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x} = {e \over 2} - \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x} . \cr} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 = 1.\)

Vậy \(S = {e \over 2} - 1 \Rightarrow m = 2.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.