Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền \(\left( D \right):\left\{ \matrix{ y = {4^x} \hfill \cr y =

Câu hỏi số 220704:

Vận dụng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền \(\left( D \right):\left\{ \matrix{ y = {4^x} \hfill \cr y = x + 5 \hfill \cr x = 0;\,\,x = 1 \hfill \cr} \right.\) bằng \(a + {b \over {\ln 4}}.\) Giá trị của biểu thức \(ab\) bằng

A. \( - {{35} \over 2}.\)

B. \( - {{34} \over 3}.\)

C. \( - {{33} \over 2}.\)

D. \( - {{32} \over 3}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220704

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Xét dấu của f(x) – g(x) trên [0; 1] và phá dấu giá trị tuyệt đối.

Giải chi tiết

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền \(\left( D \right)\) là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{4^x} - x - 5} \right|{\rm{d}}x} .\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {4^x} - x - 5\) trên [0;1] ta có: \(h'\left( x \right) = {4^x}\ln 4 - 1 > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), do đó hàm số y = h(x) đồng biến trên [0;1] \( \Rightarrow h\left( 0 \right) \le h\left( x \right) \le h\left( 1 \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow - 4 \le h\left( x \right) \le - 2 < 0\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow \left| {{4^x} - x - 5} \right| = x + 5 - {4^x} \cr & \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left( {x + 5 - {4^x}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 5} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {{4^x}{\rm{d}}x} \cr & = \left. {\left( {{{{x^2}} \over 2} + 5x} \right)} \right|_0^1 - \left. {{{{4^x}} \over {\ln 4}}} \right|_0^1 = {{11} \over 2} - {3 \over {\ln 4}} \cr} \)

Mặt khác \(S = a + {b \over {\ln 4}} = {{11} \over 2} - {3 \over {\ln 4}}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \matrix{ a = {{11} \over 2} \hfill \cr b = - \,3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow ab = - {{33} \over 2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.