Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x

Câu hỏi số 220917:

Vận dụng cao

Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)\) là:

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220917

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \({x^2} - \sqrt 2 x = t\), đưa về phương trình ẩn t, phá trị tuyệt đối và giải từng trường hợp bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết

Đặt \({x^2} - \sqrt 2 x = t\) khi đó \({\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2)\,\,\,(t > - 2;t \ne 0)\)

Đặt \({\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2) = a \Rightarrow \left\{ \matrix{ |t| = {3^a} \hfill \cr t + 2 = {5^a} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left| {{5^a} - 2} \right| = {3^a} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {5^a} - 2 = - {3^a} \hfill \cr {5^a} - 2 = {3^a} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{ {5^a} + {3^a} = 2\,\,\,(1) \hfill \cr {5^a} = {3^a} + 2\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

Xét (1): \(f(a) = {5^a} + {3^a} \Rightarrow f'(a) = {5^a}\ln 5 + {3^a}\ln 3 > 0\,\,\,(\forall a \in R)\) nên hàm số đồng biến trên R

Mặt khác f(0) = 2 do đó phương trình f(a) = f(0) có 1 nghiệm duy nhất \(a = 0{\rm{ }} \Rightarrow t = - 1.\)

Suy ra: \({x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0\) (vô nghiệm)

Xét (2) \({5^a} = {3^a} + 2\, \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 5}} \right)^a} + 2.{\left( {{1 \over 5}} \right)^a} = 1\).

Đặt \(g(a) = {\left( {{3 \over 5}} \right)^a} + 2.{\left( {{1 \over 5}} \right)^a} \Rightarrow g'(a) = {\left( {{3 \over 5}} \right)^a}\ln {3 \over 5} + 2.{\left( {{1 \over 5}} \right)^a}\ln {1 \over 5} < 0\,\,\,(\forall a \in R)\).

Nên hàm số \(g\left( a \right)\) nghịch biến trên R do đó phương trình \(g\left( a \right) = 1\) có tối đa 1 nghiệm. Mà \(g\left( a \right) = g\left( 1 \right) \Leftrightarrow a = 1\). Suy ra \(t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.