Cho \(a,b>0,\,\,a+b=1.\) Giá trị lớn nhất của \(P={{a}^{2}}{{b}^{4}}\) là

Câu hỏi số 221086:

Thông hiểu

A. \(\frac{1}{27}\)

B. \(2\)

C. \({{\left( \frac{4}{27} \right)}^{2}}\)

\({{\left( \frac{27}{4} \right)}^{2}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221086

Phương pháp giải

Phương pháp:

Ta cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si để đưa tích \({{a}^{2}}{{b}^{4}}\) về tổng có liên quan tới \(a+b=1.\) Ta phân tích \({{a}^{2}}{{b}^{4}}={{\left( a{{b}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( 4.a.\frac{b}{2}.\frac{b}{2} \right)}^{2}}\) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a,\frac{b}{2},\frac{b}{2}\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

\(a{{b}^{2}}=4a.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}\le 4{{\left( \frac{a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}}{3} \right)}^{3}}=4{{\left( \frac{a+b}{3} \right)}^{3}}=\frac{4}{27}.\)

Do đó \(P={{\left( a{{b}^{2}} \right)}^{2}}\le {{\left( \frac{4}{27} \right)}^{2}}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{2}\\a + b = 1\\a,b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = b\\3a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{array} \right..\)

Chọn đáp án C.

Chú ý khi giải

Nhận xét. Ở trên ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(6\) số để làm.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link