Cho \(a,b,c>0\) Giá trị nhỏ nhất của \(Q=\left( a+2b+3c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}

Câu hỏi số 221097:

Thông hiểu

Cho \(a,b,c>0\) Giá trị nhỏ nhất của \(Q=\left( a+2b+3c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c} \right)\) là

A. \(36\)

B. \(9\sqrt(3){36}\)

C. \(56\)

D. \(30\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:221097

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ ba số thực không âm.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a;b;c\) ta nhận được \(a+b+c\ge 3\sqrt(3){abc}.\)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(b;c;c\) ta có \(b+c+c\ge 3\sqrt(3){b{{c}^{2}}}.\)

Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt(3){abc};\sqrt(3){b{{c}^{2}}}\) ta có

\(\sqrt(3){abc}+\sqrt(3){b{{c}^{2}}}\ge 2\sqrt{\sqrt(3){abc}.\sqrt(3){b{{c}^{2}}}}=2\sqrt(6){a{{b}^{2}}{{c}^{3}}}.\)

Từ đó ta suy ra được: \(a+2b+3c=\left( a+b+c \right)+\left( b+c+c \right)\ge 3\sqrt(3){abc}+3\sqrt(3){b{{c}^{2}}}\ge 6\sqrt(6){a{{b}^{2}}{{c}^{3}}}\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\ge \frac{6}{\sqrt(3){a{{b}^{2}}{{c}^{3}}}}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

\(Q=\left( a+2b+3c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c} \right)\ge \left( 6\sqrt(3){6abc} \right)\left( \frac{6}{\sqrt(3){6abc}} \right)=36.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có đẳng thức ở \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right).\) Đẳng thức ở \(\left( 1 \right)\) xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\b = c\\\sqrt[3]{{abc}} = \sqrt[3]{{b{c^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c.\)

Tương tự ta cũng chứng minh được đẳng thức ở xảy ra khi và chỉ khi

Chọn đáp án A.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.