Cho \(a,b,c>0\) Giá trị nhỏ nhất của \(Q=\left( a+2b+3c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}

Câu hỏi số 221097:

Thông hiểu

Cho \(a,b,c>0\) Giá trị nhỏ nhất của \(Q=\left( a+2b+3c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c} \right)\) là

A. \(36\)

B. \(9\sqrt(3){36}\)

C. \(56\)

D. \(30\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221097

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ ba số thực không âm.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a;b;c\) ta nhận được \(a+b+c\ge 3\sqrt(3){abc}.\)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(b;c;c\) ta có \(b+c+c\ge 3\sqrt(3){b{{c}^{2}}}.\)

Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt(3){abc};\sqrt(3){b{{c}^{2}}}\) ta có

\(\sqrt(3){abc}+\sqrt(3){b{{c}^{2}}}\ge 2\sqrt{\sqrt(3){abc}.\sqrt(3){b{{c}^{2}}}}=2\sqrt(6){a{{b}^{2}}{{c}^{3}}}.\)

Từ đó ta suy ra được: \(a+2b+3c=\left( a+b+c \right)+\left( b+c+c \right)\ge 3\sqrt(3){abc}+3\sqrt(3){b{{c}^{2}}}\ge 6\sqrt(6){a{{b}^{2}}{{c}^{3}}}\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\ge \frac{6}{\sqrt(3){a{{b}^{2}}{{c}^{3}}}}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

\(Q=\left( a+2b+3c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c} \right)\ge \left( 6\sqrt(3){6abc} \right)\left( \frac{6}{\sqrt(3){6abc}} \right)=36.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có đẳng thức ở \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right).\) Đẳng thức ở \(\left( 1 \right)\) xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\b = c\\\sqrt[3]{{abc}} = \sqrt[3]{{b{c^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c.\)

Tương tự ta cũng chứng minh được đẳng thức ở xảy ra khi và chỉ khi

Chọn đáp án A.

Chú ý khi giải

Nhận xét. Một số bạn có thể giải như sau.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a;2b;3c\) ta có \(a+2b+3c\ge 3\sqrt(3){a\left( 2b \right)\left( 3c \right)}=3\sqrt(3){6abc}.\)

Tương tự ta có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\ge 3\sqrt(3){\frac{1}{a}.\frac{2}{b}.\frac{3}{c}}=3\frac{\sqrt(3){6}}{\sqrt(3){abc}}.\)

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được \(\left( a+2b+3c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c} \right)\ge 9\sqrt(3){36}.\)

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất là \(9\sqrt(3){36}\).

Ta có \(9\sqrt(3){36}<36\) trông có vẻ \(9\sqrt(3){36}\) mới là giá trị nhỏ nhất vì nó nhỏ hơn \(36\) nhưng thực ra không phải như vậy. Vấn đề nằm ở chỗ ta không tìm được điều kiện để \(Q=9\sqrt(3){36}.\) Lý do là để có \(Q=9\sqrt(3){36}\)thì ta phải có dấu bằng xảy ra ở \(\left\{ \begin{align} & a+2b+3c=3\sqrt(3){6abc}. \\ & \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3\frac{\sqrt(3){6}}{\sqrt(3){abc}} \\ \end{align} \right.\)

Nhưng khi đó ta cần \(\left\{ \begin{align} & a=2b=3c \\ & \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{3}{c} \\ \end{align} \right.\) Phương trình này vô nghiệm.

Xem thêm và so sánh với câu 15 ở bài " Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si"

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link