Cho \(y=\frac{3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+6}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\) Khi đó giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tương

Câu hỏi số 221115:

Vận dụng cao

Cho \(y=\frac{3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+6}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\) Khi đó giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tương ứng của y là:

A. \(2;6\)

B. \(6;2\)

C. \(1;5\)

D. \(3;9\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221115

Phương pháp giải

Phương pháp:

Biể thức y xác định \(\Leftrightarrow pt\,\,3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+6=y\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)\) có nghiệm. Tìm điều kiện của y để phương trình có nghiệm ta sẽ tìm được tập giá trị của y tức là tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Đặt \(a={{x}^{2}}\ge 0.\) Khi đó ta có

\(y=\frac{3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+6}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=\frac{3{{a}^{2}}-2a+6}{{{a}^{2}}+a+1}\Leftrightarrow y\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)=3{{a}^{2}}-2a+6\Leftrightarrow \left( y-3 \right){{a}^{2}}+\left( y+2 \right)a+\left( y-6 \right)=0\,\,\left( 1 \right).\)

\(y\) thỏa mãn \(y=\frac{3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+6}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(a\ge 0.\)

Trường hợp 1. \(y=3\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(5a-1=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{5}>0.\)

Trường hợp 2. \(y\ne 3.\) Đặt \(S=\frac{2+y}{3-y};P=\frac{6-y}{3-y}\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\left[ \begin{array}{l}P \le 0\,\,\left( I \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S \ge 0\\P \ge 0\end{array} \right.\,\,\left( {II} \right).\end{array} \right.\)

Trường hợp \(\left( I \right)\) ta có:

\(P \le 0 \Leftrightarrow \frac{{6 - y}}{{3 - y}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {6 - y} \right)\left( {3 - y} \right)}}{{{{\left( {3 - y} \right)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {y - 3} \right)\left( {y - 6} \right) \le 0\\y \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < y \le 6.\)

Xét trường hợp \(\left( II \right)\) \(\left\{ \begin{align} & \Delta \ge 0 \\ & S\ge 0 \\ & P\ge 0 \\ \end{align} \right.\,\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} - 4\left( {y - 3} \right)\left( {y - 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) - \left( {4{y^2} - 36y + 72} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - 3{y^2} - 32y - 68 \le 0 \Leftrightarrow - 3\left( {{y^2} - \frac{{32}}{3}y - \frac{{68}}{3}} \right) \ge 0\,\,\\ \Leftrightarrow {y^2} - \frac{{32}}{3}y - \frac{{68}}{3} \le 0 \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {y - \frac{{34}}{3}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 2 \le y \le \frac{{34}}{3}.\end{array}\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}S \ge 0\\P \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 + y}}{{3 - y}} \ge 0\\\frac{{6 - y}}{{3 - y}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left( {2 + y} \right)\left( {3 - y} \right)}}{{{{\left( {3 - y} \right)}^2}}} \ge 0\\\frac{{\left( {6 - y} \right)\left( {3 - y} \right)}}{{{{\left( {3 - y} \right)}^2}}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2 + y} \right)\left( {3 - y} \right) \ge 0\\\left( {6 - y} \right)\left( {3 - y} \right) \ge 0\\y \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le y < 3\\\left[ \begin{array}{l}y \ge 6\\y < 3\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Kết hợp các điều trên với nhau ta nhận được phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm không âm khi và chỉ khi \(2\le y\le 6.\)

Với \(y=2.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 3-2 \right){{a}^{2}}-\left( 2+2 \right)a+\left( 6-2 \right)=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a+4=0\Leftrightarrow a=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}.\)

Với \(y=6.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 3-6 \right){{a}^{2}}-\left( 2+6 \right)a+\left( 6-6 \right)=0\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}-8a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & a=-\frac{8}{3} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=0.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(2\) đạt được tại \(x=\pm \sqrt{2},\) giá trị lớn nhất của \(y\) là \(6\) đạt được tại \(x=0.\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link