Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho

Câu hỏi số 221919:

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left( x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2} \right)\) nhỏ nhất.

A. \(M(1;3;1)\)

B. \(M(3;1;1)\)

C. \(M\left( 1;1;2 \right)\)

D. \(M\left( \frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221919

Phương pháp giải

Vì \(x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}=O{{M}^{2}}\)\(\Rightarrow \) \(\left( x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2} \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MO\) đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P). Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của O trên mặt phẳng (P).

Giải chi tiết

Ta có \(x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}=O{{M}^{2}}\)

\(\Rightarrow \left( x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MO\)đạt giá trị nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P).

Ta có: \(MO:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;2} \right)\\O(0;0;0)\end{array} \right. \Rightarrow MO:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 2t\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 2t\\x + y + 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 2t\\6t - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 2\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;1;2} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.