Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:x=y=z\) và \(A(0;0;1),B(0;1;0)\). Tìm \(M\in (d)\)sao cho

Câu hỏi số 221937:

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:x=y=z\) và \(A(0;0;1),B(0;1;0)\). Tìm \(M\in (d)\)sao cho \(\left| \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM} \right|\) min.

A. \(M(-1;-1;-1)\)

B. \(M(1;1;1)\)

C. \(M\left( \frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)\)

D. \(M\left( -\frac{1}{3};-\frac{1}{3};-\frac{1}{3} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221937

Phương pháp giải

Lấy \(M\in d\) Tính giá trị của \(\left| \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM} \right|\) Biến về bài toán Min, Max

Giải chi tiết

Lấy \(M\in (d)\Rightarrow M(t;t;t)\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {t;t;t - 1} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( {t;t - 1;t} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \left( {2t;2t - 1;2t - 1} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right| = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + 2{{\left( {2t - 1} \right)}^2}} = \sqrt {12{t^2} - 8t + 2} = 2\sqrt 3 .\sqrt {{t^2} - \frac{2}{3}t + \frac{1}{6}} \\ = 2\sqrt 3 .\sqrt {{t^2} - \frac{2}{3}t + \frac{1}{9} + \frac{1}{{18}}} = 2\sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {t - \frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{1}{{18}}} \ge \frac{{2\sqrt 3 }}{{3\sqrt 2 }}\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(t=\frac{1}{3}\). Suy ra \(M\left( \frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.