Tìm tập hợp \(S\) tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số

Câu hỏi số 221985:

Vận dụng cao

Tìm tập hợp \(S\) tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+3\) có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ \(O\) tạo thành tứ giác nội tiếp.

A. \(S=\left\{ -\frac{1}{\sqrt{3}};0;\frac{1}{\sqrt{3}} \right\}.\)

B. \(S=\left\{ -1;1 \right\}.\)

C. \(S=\left\{ -\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}} \right\}.\)

D. \(S=\left\{ -\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} \right\}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221985

Phương pháp giải

Tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương sau đó dựa vào tính chất của tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm được tham số \(m\)

Giải chi tiết

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left( \begin{align} & x=0 \\ & {{x}^{2}}={{m}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\\end{align} \right..\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow \)\(m\ne 0.\) Khi đó, gọi \(A\left( 0;{{m}^{4}}+3 \right),\,\,B\left( m;3 \right),\,\,C\left( -\,m;3 \right)\) là ba điểm cực trị.

Vì \({{y}_{A}}>{{y}_{B}}={{y}_{C}}\) nên yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \) Tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn \(\left( C \right).\)

Và \(\left\{ \begin{align} & AB=AC \\ & OB=OC \\\end{align} \right.\) suy ra \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)

\(\Rightarrow \,\,OA\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\,\,\,\Rightarrow \,\,\)\(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(I \right).\)

Mà \(\overrightarrow{AB}=\left( m;-\,{{m}^{4}} \right),\,\,\overrightarrow{OB}=\left( m;3 \right)\) suy ra \(\left( I \right)\Leftrightarrow m.m-3{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow m=\pm \,\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.