Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({{5}^{x+2y}}+\frac{3}{{{3}^{xy}}}+x+1=\frac{{{5}^{xy}}}{5}+{{3}^{-\,x-\,2y}}+y\left( x-2 \right).\)

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=x+y.\)

Câu 221987: Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({{5}^{x+2y}}+\frac{3}{{{3}^{xy}}}+x+1=\frac{{{5}^{xy}}}{5}+{{3}^{-\,x-\,2y}}+y\left( x-2 \right).\)

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=x+y.\)

A. \({{T}_{\min }}=2+3\sqrt{2}.\)

B. \({{T}_{\min }}=3+2\sqrt{3}.\)

C. \({{T}_{\min }}=1+\sqrt{5}.\)

D. \({{T}_{\min }}=5+3\sqrt{2}.\)

Câu hỏi : 221987

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng từ phương trình giả thiết để tìm mối liên hệ giữa \(x,\,\,y\) sau đó thế \(x\) theo \(y\) vào biểu thức bài cho, khảo sát hàm số đã tìm GTNN – GTLN.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả thiết \(\Leftrightarrow {{5}^{x+2y}}+\frac{3}{{{3}^{xy}}}+x+1={{5}^{xy\,-\,1}}+\frac{1}{{{3}^{x\,+\,2y}}}+xy-2y\Leftrightarrow {{5}^{x\,+\,2y}}-\frac{1}{{{3}^{x\,+\,2y}}}+x+2y={{5}^{xy\,-\,1}}-\frac{1}{{{3}^{xy\,-\,1}}}+xy-1\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{5}^{t}}-\frac{1}{{{3}^{t}}}+t\) với \(t\in R\) có \({f}'\left( t \right)={{5}^{t}}.\ln 5+{{3}^{-\,t}}.\ln 3+1>0;\,\,\forall t\in R\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(R\) mà \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x+2y \right)=f\left( xy-1 \right)\Leftrightarrow x+2y=xy-1.\)

\(\Leftrightarrow x\left( y-1 \right)=2y+1\Leftrightarrow x=\frac{2y+1}{y-1}\) với \(x>0\Rightarrow y>1.\) Khi đó \(T=x+y=\frac{2y+1}{y-1}+y=\frac{{{y}^{2}}+y+1}{y-1}.\)

Xét hàm số \(f\left( y \right)=\frac{{{y}^{2}}+y+1}{y-1}\) trên khoảng \(\left( 1;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( y \right)=\frac{{{y}^{2}}-2y-2}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow y=1+\sqrt{3}.\)

Tính các giá trị \(f\left( 1+\sqrt{3} \right)=3+2\sqrt{3}\) và \(\underset{y\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,f\left( y \right)=\underset{y\,\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( y \right)=+\,\infty .\)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(3+2\sqrt{3}.\) Vậy \({{T}_{\min }}=3+2\sqrt{3}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.