Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 221987:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({{5}^{x+2y}}+\frac{3}{{{3}^{xy}}}+x+1=\frac{{{5}^{xy}}}{5}+{{3}^{-\,x-\,2y}}+y\left( x-2 \right).\)

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=x+y.\)

A. \({{T}_{\min }}=2+3\sqrt{2}.\)

B. \({{T}_{\min }}=3+2\sqrt{3}.\)

C. \({{T}_{\min }}=1+\sqrt{5}.\)

D. \({{T}_{\min }}=5+3\sqrt{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221987

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng từ phương trình giả thiết để tìm mối liên hệ giữa \(x,\,\,y\) sau đó thế \(x\) theo \(y\) vào biểu thức bài cho, khảo sát hàm số đã tìm GTNN – GTLN.

Giải chi tiết

Giả thiết \(\Leftrightarrow {{5}^{x+2y}}+\frac{3}{{{3}^{xy}}}+x+1={{5}^{xy\,-\,1}}+\frac{1}{{{3}^{x\,+\,2y}}}+xy-2y\Leftrightarrow {{5}^{x\,+\,2y}}-\frac{1}{{{3}^{x\,+\,2y}}}+x+2y={{5}^{xy\,-\,1}}-\frac{1}{{{3}^{xy\,-\,1}}}+xy-1\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{5}^{t}}-\frac{1}{{{3}^{t}}}+t\) với \(t\in R\) có \({f}'\left( t \right)={{5}^{t}}.\ln 5+{{3}^{-\,t}}.\ln 3+1>0;\,\,\forall t\in R\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(R\) mà \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x+2y \right)=f\left( xy-1 \right)\Leftrightarrow x+2y=xy-1.\)

\(\Leftrightarrow x\left( y-1 \right)=2y+1\Leftrightarrow x=\frac{2y+1}{y-1}\) với \(x>0\Rightarrow y>1.\) Khi đó \(T=x+y=\frac{2y+1}{y-1}+y=\frac{{{y}^{2}}+y+1}{y-1}.\)

Xét hàm số \(f\left( y \right)=\frac{{{y}^{2}}+y+1}{y-1}\) trên khoảng \(\left( 1;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( y \right)=\frac{{{y}^{2}}-2y-2}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow y=1+\sqrt{3}.\)

Tính các giá trị \(f\left( 1+\sqrt{3} \right)=3+2\sqrt{3}\) và \(\underset{y\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,f\left( y \right)=\underset{y\,\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( y \right)=+\,\infty .\)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(3+2\sqrt{3}.\) Vậy \({{T}_{\min }}=3+2\sqrt{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.