Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y=-\,{{x}^{2}}+2x\) và \(y=0\). Tính thể

Câu hỏi số 222117:

Thông hiểu

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y=-\,{{x}^{2}}+2x\) và \(y=0\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục Oy là:

A. \(V=\frac{7}{3}\pi .\)

B. \(V=\frac{8}{3}\pi .\)

C. \(V=\frac{10}{3}\pi .\)

D. \(V=\frac{16}{3}\pi .\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222117

Phương pháp giải

Rút hàm số theo biến y, \(x=f\left( y \right);x=g\left( y \right)\).

Giải phương trình tung độ giao điểm để tìm ra các cận y = a và y = b.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(x=f\left( y \right),x=g\left( y \right),y=a,y=b\) là \(V=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( y \right)-{{g}^{2}}\left( y \right) \right|dy}\).

Giải chi tiết

Ta có \(y=-\,{{x}^{2}}+2x\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=1-y\Rightarrow \left[ \begin{align} & \text{ }x=1-\sqrt{1-y} \\ & \text{ }x=1+\sqrt{1-y} \\ \end{align} \right..\)

Xét phương trình tung độ giao điểm \(1-\sqrt{1-y}=1+\sqrt{1-y}\Leftrightarrow \sqrt{1-y}=0\Leftrightarrow y=1\).

Khi đó, thể tích cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| {{\left( 1+\sqrt{1-y} \right)}^{2}}-{{\left( 1-\sqrt{1-y} \right)}^{2}} \right|\text{d}y}=\left| \pi \int\limits_{0}^{1}{4\sqrt{1-y}\,\text{d}y} \right|\)

Đặt \(\sqrt{1-y}=t\Leftrightarrow 1-y={{t}^{2}}\Leftrightarrow dy=-2tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & y=0\Leftrightarrow t=1 \\ & y=1\Leftrightarrow t=0 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó \(V=\left| -\pi \int\limits_{1}^{0}{4t.2tdt} \right|=\left| 8\pi \int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}dt} \right|=\left| 8\left. \pi \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1} \right|=\frac{8\pi }{3}\)

Chọn B.

Chú ý khi giải

Chú ý và sai lầm: Học sinh cần phân biệt bài toán xoay quanh trục Ox và xoay quanh trục Oy.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.