Biết \(I = \int\limits_0^3 {\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}} \right|{\rm{d}}x} = a + b.\ln 2 + c.\ln

Câu hỏi số 222310:

Thông hiểu

Biết \(I = \int\limits_0^3 {\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}} \right|{\rm{d}}x} = a + b.\ln 2 + c.\ln 3,\) với Tính \(S = a + b + c.\)

A. \(S = 10.\)

B. \(S = \dfrac{{25}}{2}.\)

C. \(S = 5.\)

D. \(S = \dfrac{{19}}{2}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222310

Phương pháp giải

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.

Giải chi tiết

Vì \(x \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow x + 1 > 0\) nên \(I = \int\limits_0^3 {\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^3 {\dfrac{{\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} .\)

Xét dấu hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) trên \(\left[ {0;3} \right],\) ta được

Khi đó \(\int\limits_0^3 {\dfrac{{\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} - \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} .\)

Xét nguyên hàm \(\int {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {x - 4 + \dfrac{6}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} = \dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left| {x + 1} \right| + C.\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_0^1 = 6\ln 2 - \dfrac{7}{2}.\)

\( \bullet \,\,\, - \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = - \,\left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_1^2 = - \,\left( {6\ln 3 - 6 - 6\ln 2 + \dfrac{7}{2}} \right) = - \,6\ln 3 + 6\ln 2 + \dfrac{5}{2}.\)

\( \bullet \,\,\,\int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_2^3 = 6\ln 4 - \dfrac{{15}}{2} - \left( {6\ln 3 - 6} \right) = 6\ln 4 - 6\ln 3 - \dfrac{3}{2}.\)

Vậy \(I = 6\ln 2 - \dfrac{7}{2} - \,6\ln 3 + 6\ln 2 + \dfrac{5}{2} + 6\ln 4 - 6\ln 3 - \dfrac{3}{2} = - \dfrac{5}{2} + 24\ln 2 - 12\ln 3.\)

Mặt khác \(I = a + b.\ln 2 + c.\ln 3 = - \frac{5}{2} + 24\ln 2 - 12\ln 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{2}\\b = 24\\c = - 12\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = \frac{{19}}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.