Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2}\) đi qua gốc tọa độ

Câu hỏi số 223054:

Thông hiểu

Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2}\) đi qua gốc tọa độ O?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223054

Phương pháp giải

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) bất kỳ thuộc \(\left( C \right)\):

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

- Tiếp tuyến đi qua điểm \(O\) nếu tọa độ của \(O\) thỏa mãn phương trình tiếp tuyến.

- Số nghiệm \({x_0}\) của phương trình chính là số điểm \(M\) cần tìm.

Giải chi tiết

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O

Ta có: \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}}\)

Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

\(y = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)\( \Leftrightarrow y = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\)

Thay \(\left( {0;0} \right)\) vào phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}0 = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\\ \Leftrightarrow - 3x_0^4 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow x_0^2\left( { - 3x_0^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \pm \sqrt {\frac{2}{3}}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.

Chú ý khi giải

Tránh nhầm lẫn với bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm \(O\left( {0;0} \right)\). Với bài toán này sẽ chỉ tìm được 1 tiếp tuyến nên HS sẽ bị chọn nhầm đáp án B.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.