Cho phương trình: \(1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 - x} \) , nghiệm của phương

Câu hỏi số 223055:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \(1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 - x} \) , nghiệm của phương trình đó là:

A. x = 0

B. x = 0 và x = 1

C. x = 1

D. Vô nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223055

Phương pháp giải

Trước tiên, ta tìm điều kiện để phân thức có nghĩa.

- Áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình đó.

Giải chi tiết

Xét phương trình: \(1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 - x} \left( * \right)\)

Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\1 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\)

Đặt \(t = \sqrt x + \sqrt {1 - x} \left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {t^2} = {\left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {t^2} = x + 2\sqrt {x - {x^2}} + 1 - x \Rightarrow \sqrt {x - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình (*) có dạng:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{{t^2} - 1}}{3} = t\\ \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {tm} \right)\\t = 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

- Với t = 1 ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x + \sqrt {1 - x} = 1\\\Leftrightarrow x + 2\sqrt {x - {x^2}} + 1 - x = 1\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - {x^2}} = 0\\ \Leftrightarrow x - {x^2} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = 1\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

- Với t = 2 ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt x + \sqrt {1 - x} = 2\\ \Leftrightarrow x + 2\sqrt {x - {x^2}} + 1 - x = 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - {x^2}} = 3\\ \Leftrightarrow 4x - 4{x^2} = 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} + 8 > 0,\forall x\end{array}\)

Nên phương trình \(1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 - x} \) vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x= 0 và x = 1

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link