Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4\\{x^2} + {y^2} +

Câu hỏi số 223057:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4\\{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 4\end{array} \right.\) , cặp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

A. \(\left( {x,y} \right) = \left( {1; - 1} \right)\)

B. Vô nghiệm

C. \(\left( {x,y} \right) = \left( {- 1; 1} \right)\)

D. \(\left( {x,y} \right) = \left( {1; 1} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223057

Phương pháp giải

Trước tiên, ta tìm điều kiện các định của x và y.

- Ta thấy đây là hệ phương trình đối xứng loại 1, áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên.

Giải chi tiết

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4\\{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 4\end{array} \right.\left( {x \ne 0,y \ne 0} \right)\left( * \right)\)

Đặt:\(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = u\\y + \frac{1}{y} = v\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {u^2} - 2\\{y^2} + \frac{1}{{{y^2}}} = {v^2} - 2\end{array} \right.\) , khi đó hệ phương trình (*) có dạng:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}u + v = 4\\{u^2} - 2 + {v^2} - 2 = 4\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 4\\{u^2} + {v^2} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 4\\{\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 4\\uv = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 4 - v\\\left( {4 - v} \right)v = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 4 - v\\4v - {v^2} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 4 - v\\{\left( {v - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = 2\\y + \frac{1}{y} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 = 0\\{y^2} - 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm là \(\left( {x,y} \right) = \left( {1; 1} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link