Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc và \(SA=a,SB=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{3}\). Tính
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc và \(SA=a,SB=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{3}\). Tính khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Phương pháp:
- Gọi \(H\) là trực tâm tam giác, chứng minh \(SH\bot \left( ABC \right)\) bằng cách sử dụng định lý: “Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó”.
- Tính độ dài \(SH\) bằng cách sử dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
Ta sẽ chứng minh \(SH\) là đường cao của hình chóp.
Gọi \(E,D\) lần lượt là hình chiếu của \(B,A\) lên \(AC,BC\).
Khi đó \(BE\bot AC,AD\bot BC\)
Ta có: \(SB\bot SA;SB\bot SC\Rightarrow SB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow SB\bot AC\).
\(\Rightarrow AC\bot \left( SBE \right)\Rightarrow AC\bot SH\).
Chứng minh tương tự ta cũng được \(BC\bot SH\).
Do đó \(SH\) là đường cao của hình chóp.
Vì \(SB\bot \left( SAC \right)\) nên \(SB\bot SE\Rightarrow \Delta SBE\) vuông tại \(S\).
Lại có \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\) nên \(\frac{1}{S{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{E}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}} \\ & =\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{11}{6{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow S{{H}^{2}}=\frac{6{{a}^{2}}}{11}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{11}}=\frac{a\sqrt{66}}{11} \\\end{align}\)
Vậy \(d\left( S,\left( ABC \right) \right)=SH=\frac{a\sqrt{66}}{11}\).
Từ nay về sau, các em có thể ghi nhớ hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong hình chóp \(S.ABC\) mà có \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc, đó là \(\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
