Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc và \(SA=a,SB=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{3}\). Tính

Câu hỏi số 223302:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc và \(SA=a,SB=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{3}\). Tính khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).

A. \(\frac{11a}{6}\)

B. \(\frac{a\sqrt{66}}{6}\)

C. \(\frac{6a}{11}\)

D. \(\frac{a\sqrt{66}}{11}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223302

Phương pháp giải

Phương pháp:

- Gọi \(H\) là trực tâm tam giác, chứng minh \(SH\bot \left( ABC \right)\) bằng cách sử dụng định lý: “Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó”.

- Tính độ dài \(SH\) bằng cách sử dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Ta sẽ chứng minh \(SH\) là đường cao của hình chóp.

Gọi \(E,D\) lần lượt là hình chiếu của \(B,A\) lên \(AC,BC\).

Khi đó \(BE\bot AC,AD\bot BC\)

Ta có: \(SB\bot SA;SB\bot SC\Rightarrow SB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow SB\bot AC\).

\(\Rightarrow AC\bot \left( SBE \right)\Rightarrow AC\bot SH\).

Chứng minh tương tự ta cũng được \(BC\bot SH\).

Do đó \(SH\) là đường cao của hình chóp.

Vì \(SB\bot \left( SAC \right)\) nên \(SB\bot SE\Rightarrow \Delta SBE\) vuông tại \(S\).

Lại có \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\) nên \(\frac{1}{S{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{E}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}} \\ & =\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{11}{6{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow S{{H}^{2}}=\frac{6{{a}^{2}}}{11}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{11}}=\frac{a\sqrt{66}}{11} \\\end{align}\)

Vậy \(d\left( S,\left( ABC \right) \right)=SH=\frac{a\sqrt{66}}{11}\).

Chú ý khi giải

Từ nay về sau, các em có thể ghi nhớ hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong hình chóp \(S.ABC\) mà có \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc, đó là \(\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.